Tính các tích phân sau

a) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx} $; b) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\cos 2x}}{{\cos x\left( {1 + \tan x} \right)}}dx} $; c) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2{{\sin }^2}x + 3} \right)dx} $

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx} $$ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx} $$ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos x} \right)dx} = \left. {\left( {x - \sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{\pi }{2} - 1$.

b)$\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\cos 2x}}{{\cos x\left( {1 + \tan x} \right)}}dx} $$ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)}}{{\cos x + \sin x}}dx} $$ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\cos x - \sin x} \right)dx} = \left. {\left( {\sin x + \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \sqrt 2 - 1$.

c) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2{{\sin }^2}x + 3} \right)dx} $$ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos 2x + 3} \right)dx} $$ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {4 - \cos 2x} \right)dx} $$ = \left. {\left( {4x - \frac{1}{2}\sin 2x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 2\pi $.

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1,x = 4$.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có ${x^3} - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 3 \in \left[ {1;4} \right]$.

Diện tích hình phẳng cần tìm là

$S = \int_{1}^{4} |x^{3} - 3 x^{2}| d x$ $= \int_{1}^{3} |x^{3} - 3 x^{2}| d x + \int_{3}^{4} |x^{3} - 3 x^{2}| d x$ $= \int_{1}^{3} (3 x^{2} - x^{3}) d x + \int_{3}^{4} (x^{3} - 3 x^{2}) d x$

$ = \left. {\left( {{x^3} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right)} \right|_1^3 + \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - {x^3}} \right)} \right|_3^4$$ = 6 + \frac{{27}}{4} = \frac{{51}}{4}$.

Câu 2

Một chiếc xe ô tô đang chạy trên đường cao tốc với vận tốc 72 km/h thì tài xế bất ngờ đạp phanh làm cho chiếc ô tô chuyển động chậm với gia tốc $a\left( t \right) = - \frac{8}{5}t$ (m/s²), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây. Hỏi kể từ khi đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn thì ô tô di chuyển bao nhiêu mét? (Giả sử trên đường ô tô di chuyển không có gì bất thường).

Xem đáp án

Lời giải

Vận tốc của ô tô là $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {\left( { - \frac{8}{5}t} \right)dt} = - \frac{4}{5}{t^2} + C$.

Ta có $72\;{\rm{km/h}} = 20\;{\rm{m/s}}$.

Vì $v\left( 0 \right) = 20$ nên $C = 20$$ \Rightarrow v\left( t \right) = - \frac{4}{5}{t^2} + 20$.

Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 nên $ - \frac{4}{5}{t^2} + 20 = 0 \Rightarrow t = 5$.

Quãng đường cần tìm là $s = \int\limits_0^5 {\left( { - \frac{4}{5}{t^2} + 20} \right)dt} = \left. {\left( { - \frac{4}{{15}}{t^3} + 20t} \right)} \right|_0^5 = \frac{{200}}{3}$ (m).

Câu 3