Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {0;1;2} \right),B\left( {2; - 2;1} \right),C\left( { - 2;1;0} \right)\). Khi đó, phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(ax + y - z + d = 0\). Hãy xác định \(a\) và \(d\).     

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3; - 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;0; - 2} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&{ - 1}\\0&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 3}\\{ - 2}&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {6;6; - 6} \right)\).

Chọn \(\overrightarrow n = \frac{1}{6}\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;1; - 1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

Ta có phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(x + y - 1 - z + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow x + y - z + 1 = 0\).

Vậy \(a = 1;d = 1\).