Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {0;1;2} \right),B\left( {2; - 2;1} \right),C\left( { - 2;1;0} \right)\). Khi đó, phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(ax + y - z + d = 0\). Hãy xác định \(a\) và \(d\).     

Đáp án đúng là: A

\[\left( {ABC} \right):\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0\].

\[\left( P \right){\rm{//}}\left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( P \right):6x + 3y + 2z + m = 0\,\,\left( {m \ne - 12} \right)\].

\(\left( P \right)\) cách đều \(D\) và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right) \Rightarrow d\left( {D,\left( P \right)} \right) = d\left( {A,\left( P \right)} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {6.2 + 3.4 + 2.6 + m} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {6.2 + 3.0 + 2.0 + m} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} }} \Leftrightarrow \left| {36 + m} \right| = \left| {12 + m} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}36 + m = 12 + m\\36 + m = - 12 - m\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow m = - 24\] (nhận).

Vậy phương trình của \(\left( P \right)\) là \(6x + 3y + 2z - 24 = 0\).