Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\). Gọi \(A,B,C\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên các trục \(Ox,Oy,Oz\). Mệnh đề nào sau đây đúng và mệnh đề nào sai?

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3; - 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;0; - 2} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&{ - 1}\\0&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 3}\\{ - 2}&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {6;6; - 6} \right)\).

Chọn \(\overrightarrow n = \frac{1}{6}\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;1; - 1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

Ta có phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(x + y - 1 - z + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow x + y - z + 1 = 0\).

Vậy \(a = 1;d = 1\).