Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1;1;1} \right),B\left( {4;1;1} \right),C\left( {1;1;5} \right)\). Biết điểm \(M\left( {a,b,c} \right)\) thuộc mặt phẳng \(x - y + z - 10 = 0\) là điểm thỏa mãn hệ thức: \(T = \left| {\overrightarrow {MA} - 4\overrightarrow {MB} + 5\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng \(a + b + c\)?

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Lời giải

Gọi \(I\left( {a,b,c} \right)\) là điểm thỏa mãn hệ thức: \(\overrightarrow {IA} - 4\overrightarrow {IB} + 5\overrightarrow {IC} = 0\)

Theo bài ra ta có:

\(T = \left| {\overrightarrow {MA} - 4\overrightarrow {MB} + 5\overrightarrow {MC} \left| = \right|\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} - 4\overrightarrow {MI} - 4\overrightarrow {IB} + 5\overrightarrow {MI} + 5\overrightarrow {IC} \left| = \right|2\overrightarrow {MI} } \right| = 2MI\)

\( \Rightarrow {T_{{\rm{min}}}} \Leftrightarrow M{I_{{\rm{min}}}} \Rightarrow M\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\)

Xác định tọa độ điểm \(I\):

\(\overrightarrow {IA} = \left( {1 - a;1 - b;1 - c} \right)\)

\(\overrightarrow {IB} = \left( {4 - a;1 - b;1 - c} \right) \Rightarrow - 4\overrightarrow {IB} = \left( { - 16 + 4a; - 4 + 4b; - 4 + 4c} \right)\)

\(\overrightarrow {IC} = \left( {1 - a;1 - b;5 - c} \right) \Rightarrow 5\overrightarrow {IC} = \left( {5 - 5a;5 - 5b;25 - 5c} \right)\)

Mà \(\overrightarrow {IA} - 4\overrightarrow {IB} + 5\overrightarrow {IC} = 0\)

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - a - 16 + 4a + 5 - 5a = 0}\\{1 - b - 4 + 4b + 5 - 5b = 0}\\{1 - c - 4 + 4c + 25 - 5c = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2a - 10 = 0}\\{ - 2b + 2 = 0}\\{ - 2c + 22 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 5}\\{b = 1}\\{c = 11}\end{array}} \right.} \right.} \right. \Rightarrow I( - 5;1;11)\]

Phương trình đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 5 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 11 + t}\end{array},t \in \mathbb{R}} \right.\)

Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 5 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 11 + t}\\{x - y + z - 10 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 5 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 11 + t}\\{ - 5 + t - (1 - t) + 11 + t - 10 = 0}\end{array}} \right.} \right.\]\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 5 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 11 + t}\\{t = \frac{{ - 5}}{3}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{ - 20}}{3}}\\{y = \frac{8}{3}}\\{z = \frac{{28}}{3}}\\{t = - \frac{5}{3}}\end{array}} \right.} \right.\]

\[ \Rightarrow M\left( {\frac{{ - 20}}{3};\frac{8}{3};\frac{{28}}{3}} \right)\]

\[ \Rightarrow a + b + c = \frac{{16}}{3}\]