Tại một nhà máy sản xuất một loại phân bón. Gọi $P\left(x\right)$ là lợi nhuận (tính theo triệu đồng) thu được từ việc bán $x$ (tấn) sản phẩm trong một tuần. Khi đó đạo hàm $P^{\prime }\left(x\right)$ gọi là lợi nhuận cận biên, cho biết tốc độ tăng lợi nhận theo lượng sản phẩm bán được. Giả sử lợi nhuận cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức $P^{\prime }\left(x\right)=17-0,025x$ với $0\le x\le 1000$. Biết nhà máy lỗ 24 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần.

Đáp án: 32,7

Gọi $\overrightarrow{T_A},\overrightarrow{T_B},\overrightarrow{T_C}$ lần lượt là lực căng của các sợi dây $DA,DB,DC$. Gọi $P$ là trọng lượng của vật.

Khi vật ở trạng thái cân bằng, ta có phương trình: $\overrightarrow{T_A}+\overrightarrow{T_B}+\overrightarrow{T_C}+\overrightarrow{P}=\overrightarrow{0}$

Trọng lực $\overrightarrow{P}$ hướng xuống dưới theo trục $Oz$, nên $\overrightarrow{P}\left(0;0-p\right)$

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{DA}=\left(-2;-1;4\right)\Rightarrow DA=\sqrt{21}\\ \overrightarrow{DB}=\left(2;-1;4\right)\Rightarrow DB=\sqrt{21}\\ \overrightarrow{DC}=\left(0;4;4\right)\Rightarrow DC=4\sqrt{2}\end{array}$

Khi đó véc tơ đơn vị ${\overrightarrow{u}}_A$cùng hướng với sợi dây $DA$ được tính bằng cách lấy $\overrightarrow{DA}$ chia cho độ dài của chính nó. Tương tự có các véc tơ đơn vị của các sợi dây là:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{u_A}=\frac{\overrightarrow{DA}}{DA}=\frac{1}{\sqrt{21}}\left(-2;-1;4\right)\\ \overrightarrow{u_B}=\frac{\overrightarrow{DB}}{DB}=\frac{1}{\sqrt{21}}\left(2;-1;4\right)\\ \overrightarrow{u_C}=\frac{\overrightarrow{DC}}{DC}=\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(0;4;4\right)\end{array}$

Mà một vectơ lực có thể được biểu diễn bằng tích của "độ lớn" và "vectơ đơn vị" chỉ hướng của nó, nên có: $$

$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{T_A}=\frac{T_A}{DA}=\frac{T_A}{\sqrt{21}}\left(-2;-1;4\right)\\ \overrightarrow{T_B}=\frac{T_B}{DB}=\frac{T_B}{\sqrt{21}}\left(2;-1;4\right)\\ \overrightarrow{T_C}=\frac{T_C}{DC}=\frac{T_C}{4\sqrt{2}}\left(0;4;4\right)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{T}_A=T_B\\ T_C=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{21}}{T}_A\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{T}_A=T_B\\ T_C<T_A\end{array}$

Chứng tỏ dây $DA$ và $DB$ sẽ chịu những lực căng lớn nhất $\Rightarrow T_A=T_B=15\text{}N$

$\Rightarrow T_C=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{21}}.15=\frac{30\sqrt{2}}{\sqrt{21}}$

Vậy$\overrightarrow{T_A}+\overrightarrow{T_B}+\overrightarrow{T_C}+\overrightarrow{P}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{P}=-\left(\overrightarrow{T_A}+\overrightarrow{T_B}+\overrightarrow{T_C}\right)$

$\Rightarrow -p=-\left(\frac{4.T_A}{\sqrt{21}}+\frac{4.T_B}{\sqrt{21}}+\frac{4.T_C}{4\sqrt{2}}\right)\Rightarrow p=\frac{8.T_A}{\sqrt{21}}+\frac{4.T_C}{4\sqrt{2}}=\frac{8.15}{\sqrt{21}}+\frac{4}{4\sqrt{2}}.\frac{30\sqrt{2}}{\sqrt{21}}=\frac{150}{\sqrt{21}}\approx 32,7$

Vậy trọng lực tối đa của vật là $32,7(N)$.

Đáp án: 5,58

Lượng cà phê xuất khẩu: $Q\left(x\right)=\left(2000x-150\right)-\left(4000-500x\right)=2500x-4150$.

Lợi nhuận trên mỗi kg xuất khẩu là: $10-0,5-x=9,5-x$(USD).

Tổng lợi nhuận từ xuất khẩu: $P\left(x\right)=\left(9,5-x\right)\left(2500x-4150\right)=-2500x^2+27900x-39425$

Để có lượng cà phê xuất khẩu thì $Q\left(x\right)>0\iff 2500x-4150>0\iff x>1,66$

Hơn nữa, lượng cà phê tiêu thụ trong nước phải không âm: $4000-500x\ge 0\iff x\le 8$

Vậy $1,66<x\le 8$.

Vì đồ thị của hàm số $P\left(x\right)$ là một Parabol có bề lõm quay xuống và hoành độ đỉnh $x_I=5,58$ nên hàm số $P\left(x\right)$ đạt giá trị lớn nhất khi $x=5,58$.

Suy ra $P\left(x\right)$ đạt giá trị lớn nhất khi $x=5,58$(USD).