Cho hai biểu thức \(M = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x + 3}}\) và \(N = \frac{{5\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x - 8}} - \frac{3}{{\sqrt x + 4}}\) với \(x \ge 0,x \ne 4.\)

(a) Tính giá trị biểu thức \(M\) khi \[x = 25\].

(b) Chứng minh \(N = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}\)

(c) Cho \(P = \frac{{M.N}}{2}.\)Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\).

Điều kiện: \(0 \le x \le 20\).

Vì \(MD = NE = PF = QG = x\) nên \[MG = QF = PE = ND = 20 - x\].

Diện tích tấm bìa hình vuông \(MNPQ\) là: \({S_{MNPQ}} = {20^2} = 400\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).

Các tam giác vuông\(MDG,NDE,PEF,QGF\) có hai cạnh góc vuông có độ dài là \(x\) và \(20 - x\) nên đều có diện tích là: \(\frac{1}{2}x\left( {20 - x} \right)\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).

Như vậy, diện tích tứ giác \(DEFG\) là:

\(S = {S_{MNPQ}} - \left( {{S_{MDG}} + {S_{NDE}} + {S_{PEF}} + {S_{QGF}}} \right)\)

\( = 400 - \frac{1}{2}x\left( {20 - x} \right)\)

\( = 400 - 10x + \frac{1}{2}{x^2}\)

\( = 350 + \frac{1}{2}\left( {{x^2} - 20x + 100} \right)\)

\( = 350 + \frac{1}{2}{\left( {x - 10} \right)^2}\).

Vì \({\left( {x - 10} \right)^2}\, \ge 0\) nên \(\frac{1}{2}{\left( {x - 10} \right)^2}\, \ge \frac{1}{2}.0 = 0\).

Do đó \(350 + \frac{1}{2}{\left( {x - 10} \right)^2} \ge 350 + 0 = 350\).

Vì vậy \(S\, \ge 350\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x - 10 = 0\) hay \(x = 10\).

So với điều kiện \(0 \le x \le 20\), ta nhận \(x = 10\).

Vậy độ dài \(MD\) bằng \(10\) cm thì tứ giác \(DEFG\) có diện tích nhỏ nhất.

Gọi số dãy ghế ban đầu nhà trường kê là \(x\) (dãy ghế) (\(x \in {\mathbb{N}^*};x > 10\)).

Trong buổi gặp đầu tiên, nhà trường dự kiến kê \(120\) ghế nên mỗi dãy ghế có số chỗ ngồi là \(\frac{{120}}{x}\) (chỗ ngồi).

Thực tế phải kê thêm \(1\) dãy ghế và mỗi dãy ghế phải thêm \(2\) người ngồi để có 160 ghế nên ta có phương trình: \(\left( {x + 1} \right)\left( {\frac{{120}}{x} + 2} \right) = 160\) hay \(\left( {x + 1} \right)\left( {\frac{{120 + 2x}}{x}} \right) = 160\).

Suy ra \(\left( {x + 1} \right)\left( {120 + 2x} \right) = 160x\).

Tức là, \(120x + 120 + 2{x^2} + 2x = 160x\).

Khi đó \(2{x^2} - 38x + 120 = 0\).

Vì vậy \({x^2} - 19x + 60 = 0\).

Suy ra \({x^2} - 15x - 4x + 60 = 0\).

Do đó \(x\left( {x - 15} \right) - 4\left( {x - 15} \right) = 0\).

Vì vậy \(\left( {x - 4} \right)\left( {x - 15} \right) = 0\).

Suy ra \(x - 4 = 0\) hoặc \(x - 15 = 0\).

Do đó \[x = 4\] hoặc \[x = 15\].

So với điều kiện \(x \in {\mathbb{N}^*};x > 10\), ta nhận \[x = 15\].

Số chỗ ngồi của mỗi dãy ghế ban đầu nhà trường kê là: \(\frac{{120}}{{15}} = 8\) (chỗ ngồi).

Vậy số dãy ghế ban đầu nhà trường kê là \(15\) dãy ghế và mỗi dãy ghế có \(8\) chỗ ngồi.