Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2; - 1} \right)\) và cắt trục \(Oy\) tại hai điểm \(M\) và \(N\) sao cho diện tích tam giác \(IMN\) bằng \(\sqrt 2 \). Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có dạng \({(x + a)^2} + {y^2} - 4by + {z^2} + 2cz - 2d = 0\). Giá trị của biểu thức \(T = a + b + c + d\) bằng:
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Giải chi tiết
Khoảng cách từ điểm \(I\) đến trục \(Oy\) là: \(d\left( {I,Oy} \right) = \sqrt {x_1^2 + y_1^2} = \sqrt 2 \).
Diện tích tam giác
\( \Leftrightarrow \sqrt 2 = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot \sqrt 2 \Leftrightarrow MN = 2\)Bán kính mặt cầu ( \(S\) ) là \(R = IM = \sqrt {I{H^2} + H{M^2}} \)
\( = \sqrt {{d^2}\left( {I,Oy} \right) + \frac{{M{N^2}}}{4}} = \sqrt {{{(\sqrt 2 )}^2} + \frac{{{2^2}}}{4}} = \sqrt 3 \)
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là: \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = 3\)
Biến đồi về dạng \({(x + a)^2} + {y^2} - 4by + {z^2} + 2cz - 2d = 0\) như sau:
\({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = 3 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {y^2} - 4y + {z^2} + 2z + 2 = 0\)Suy ra \(a = - 1;b = 1;c = 1;d = - 1 \Rightarrow T = a + b + c + d = 0\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án đúng là: 24
Thể tích khối lăng trụ tứ giác đều là: \({V_1} = 1,5 \cdot {2^2} = 6\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Độ dài đường chéo mặt đáy của khối chóp tứ giác đều là: \(\sqrt {{2^2}} + {2^2} = 2\sqrt 2 \left( {{\rm{\;cm}}} \right)\).
Khối chóp tứ giác đều có chiều cao là: \(\sqrt {{3^2} - {{\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \sqrt 7 \left( {{\rm{\;cm}}} \right)\).
Suy ra thể tích khối chóp tứ giác đều là: \({V_2} = \frac{1}{3} \cdot {2^2} \cdot \sqrt 7 = \frac{{4\sqrt 7 }}{3}\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Số tiền để mua kim loại để làm thiết bị đó là: \(2,5\left( {6 + \frac{{4\sqrt 7 }}{3}} \right) \approx 24\) (nghìn đồng).
Lời giải
Đáp án đúng là: 2,1
Đề hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất thì phải chọn \(A,B\) sao cho đoạn thẳng \(AB\) là bé nhất. Thiết lập khoảng cách giữa hai điểm \(A,B\) và tìm giá trị nhỏ nhất.
Chọn hệ tọa độ \(xOy\) như hình dưới đây với \(OD\) nằm trên tia \(Oy\). Khi đó điểm \(M\left( {\frac{1}{8};1} \right)\).
Gọi \(B\left( {m;0} \right),A\left( {0;n} \right){\rm{\;}}(m,n > 0)\).
Khi đó ta có phương trình theo đoạn chắn là \(\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1\).
Do đường thẳng đi qua \(M\left( {\frac{1}{8};1} \right)\) nên \(\frac{1}{{8m}} + \frac{1}{n} = 1\)
\( \Rightarrow \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{{8m}} = \frac{{8m - 1}}{{8m}} \Rightarrow n = \frac{{8m}}{{8m - 1}}\).
Có \(A{B^2} = {m^2} + {n^2} = {m^2} + \left( {\frac{{8m}}{{8m - 1}}} \right) = f\left( m \right)\).
Xét hàm số \(f\left( m \right)\), ta có :
\(f'\left( m \right) = 2m + 2.\frac{{8m}}{{8m - 1}}.\frac{{ - 8}}{{{{(8m - 1)}^2}}} = 2m.\left( {1 - \frac{{64}}{{{{(8m - 1)}^3}}}} \right);\)\(f'\left( m \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0{\rm{\;(loai)\;}}}\\{1 - \frac{{64}}{{{{(8m - 1)}^2}}} = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow {(8m - 1)^3} = 64 \Leftrightarrow m = \frac{5}{8}\)
\(f\left( m \right) \ge f\left( {\frac{5}{8}} \right) = {\left( {\frac{5}{8}} \right)^2} + {\left( {\frac{{8 \cdot \frac{5}{8}}}{{8 \cdot \frac{5}{8} - 1}}} \right)^2} = \frac{{25}}{{64}} + \frac{{25}}{{16}} = \frac{{125}}{{64}}\)
\( \Rightarrow AB \ge \sqrt {\frac{{125}}{{64}}} = \frac{{5\sqrt 5 }}{8}\)
Vậy quãng đường ngắn nhất là \(\frac{{5\sqrt 5 }}{8}\left( {{\rm{\;km}}} \right)\)
Giá để làm 1km đường là 1500 triệu đồng \( = 1,5\) tỷ đồng nên khi đó chi phí thấp nhất để hoàn thành con đường là \(\frac{{5\sqrt 5 }}{8} \cdot 1,5 \approx 2,1\)（tỷ đồng）．
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập