Công ty sữa Vinamilk thiết kế các sản phẩm dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình chữ nhật có chiều rộng bằng \(\frac{2}{3}\) chiều dài. Sản phẩm chứa dung tích bằng \(180ml\) ( biết rằng \(1l = 1000{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^3}\) ). Khi thiết kế công ty luôn đặt ra mục tiêu sao cho vật liệu làm vỏ hộp là tiết kiệm nhất. Khi đó chiều dài của đáy hộp gần bằng giá trị nào sau đây ( làm tròn đến hàng phần trăm) để công ty tiết kiệm được vật liệu nhất.

Giải chi tiết

Ta có \(180ml = 180c{m^3}\)
Gọi chiều dài của đáy hộp là \(x\left( {cm} \right),x > 0\),
khi đó chiều rộng của đáy hộp là \(\frac{2}{3}x\left( {{\rm{\;}}cm} \right)\).
Gọi chiều cao của hộp chữ nhật là \(h\left( {cm} \right),h > 0\).
Ta có thể tích của khối hộp chữ nhật là \(V = x \cdot \frac{2}{3}x \cdot h = 180\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)

\( \Rightarrow h = \frac{{270}}{{{x^2}}}\left( {{\rm{\;cm}}} \right)\).
Diện tích toàn phần của hộp chữ nhật là
\({S_{TP}} = 2.x.\frac{2}{3}x + 2.x.\frac{{270}}{{{x^2}}} + 2.\frac{2}{3}x.\frac{{270}}{{{x^2}}}\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)\({S_{TP}} = f\left( x \right) = \frac{4}{3}{x^2} + \frac{{900}}{x},\left( {c{m^2}} \right)\)Yêu cầu bài toán trở thành tìm \(x\) dương sao cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{4}{3}{x^2} + \frac{{900}}{x}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 3 số dương \(\frac{4}{3}{x^2},\frac{{450}}{x},\frac{{450}}{x}\) ta có
\(\frac{4}{3}{x^2} + \frac{{450}}{x} + \frac{{450}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{4}{3}{x^2} \cdot \frac{{450}}{x} \cdot \frac{{450}}{x}}} \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 3\sqrt[3]{{270000}},\forall x > 0\)Dấu \( = \) xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{4}{3}{x^2} = \frac{{450}}{x} = \frac{{450}}{x} \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt[3]{{2700}}}}{2} \approx 6,96\left( {{\rm{\;cm}}} \right)\)