Một người môi giới bất động sản có \[8\] chìa khóa để mở \[8\] ngôi nhà mới. Mỗi chìa khóa chỉ mở được đúng \[1\] ngôi nhà. Biết có \[3\] ngôi nhà thường không khóa cửa, người môi giới chọn ngẫu nhiên \[3\] chìa khóa mang theo. Hỏi nếu người môi giới chọn ngẫu nhiên một nhà để vào thì xác suất để người môi giới này có thể vào được là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải

Đáp án: \[0,61\]

Cách 1:

Ta có các trường hợp:

Trường hợp 1: \[3\] chìa khóa được chọn là chìa \[3\] ngôi nhà không khóa cửa.

Người môi giới khi đó có thể vào đúng \[3\] ngôi nhà.

Xác suất chọn được \[3\] chìa đó là: \[\frac{{C_3^3}}{{C_8^3}}\].

Xác suất để người môi giới vào được nhà là: \[\frac{3}{8}\].

Xác suất trong trường hợp này là: \[\frac{{C_3^3}}{{C_8^3}} \cdot \frac{3}{8}\].

Trường hợp 2: \[3\] chìa khóa được chọn là chìa \[2\] ngôi nhà không khóa cửa và \[1\] ngôi nhà khóa cửa.

Người môi giới khi đó có thể vào đúng \[4\] ngôi nhà.

Xác suất chọn được \[3\] chìa đó là: \[\frac{{C_3^2 \cdot C_5^1}}{{C_8^3}}\].

Xác suất để người môi giới vào được nhà là: \[\frac{4}{8}\].

Xác suất trong trường hợp này là: \[\frac{{C_3^2 \cdot C_5^1}}{{C_8^3}} \cdot \frac{4}{8}\].

Trường hợp 3: \[3\] chìa khóa được chọn là chìa \[1\] ngôi nhà không khóa cửa và \[2\] ngôi nhà khóa cửa.

Người môi giới khi đó có thể vào đúng \[5\] ngôi nhà.

Xác suất chọn được \[3\] chìa đó là: \[\frac{{C_3^1 \cdot C_5^2}}{{C_8^3}}\].

Xác suất để người môi giới vào được nhà là: \[\frac{5}{8}\].

Xác suất trong trường hợp này là: \[\frac{{C_3^1 \cdot C_5^2}}{{C_8^3}} \cdot \frac{5}{8}\].

Trường hợp 4: \[3\] chìa khóa được chọn là chìa \[3\] ngôi nhà khóa cửa.

Người môi giới khi đó có thể vào đúng \[6\] ngôi nhà.

Xác suất chọn được \[3\] chìa đó là: \[\frac{{C_5^3}}{{C_8^3}}\].

Xác suất để người môi giới vào được nhà là: \[\frac{6}{8}\].

Xác suất trong trường hợp này là: \[\frac{{C_5^3}}{{C_8^3}} \cdot \frac{6}{8}\].

Vậy xác suất cần tìm là: \[\frac{{C_3^3}}{{C_8^3}} \cdot \frac{3}{8} + \frac{{C_3^2 \cdot C_5^1}}{{C_8^3}} \cdot \frac{4}{8} + \frac{{C_3^1 \cdot C_5^2}}{{C_8^3}} \cdot \frac{5}{8} + \frac{{C_5^3}}{{C_8^3}} \cdot \frac{6}{8} = \frac{{39}}{{64}} \approx 0,61\].

Cách 2:

Ta có các trường hợp:

Trường hợp 1: Người môi giới chọn ngôi nhà không khóa cửa.

Xác suất chọn được ngôi nhà như thế là: \[\frac{{C_3^1}}{{C_8^1}}\].

Do nhà không khóa nên người môi giới chắc chắn sẽ vào được nhà, xác suất vào được nhà bằng \[1\].

Xác suất trường hợp này là: \[\frac{{C_3^1}}{{C_8^1}}\].

Trường hợp 2: Người môi giới chọn ngôi nhà khóa cửa.

Xác suất chọn được ngôi nhà như thế là: \[\frac{{C_5^1}}{{C_8^1}}\].

Để vào được nhà, người môi giới cần có chìa khóa ngôi nhà đó, tức là trong \[3\] chìa người đó chọn có chìa khóa ngôi nhà người đó vào (\[1\] cách), \[2\] chìa còn lại ngẫu nhiên (\[C_7^2\] cách). Do đó xác suất để người đó vào được nhà là: \[\frac{{1 \cdot C_7^2}}{{C_8^3}}\].

Xác suất trường hợp này là: \[\frac{{C_5^1}}{{C_8^1}} \cdot \frac{{C_7^2}}{{C_8^3}}\].

Vậy xác suất cần tìm là: \[\frac{{C_3^1}}{{C_8^1}} + \frac{{C_5^1}}{{C_8^1}} \cdot \frac{{C_7^2}}{{C_8^3}} = \frac{{39}}{{64}} \approx 0,61\].