Một cuộc diễn tập phòng không được đặt trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) với 1 đơn vị độ dài trên các trục tính bằng 1 km trên thực tế. Một bệ phóng tên lửa phòng không được đặt tại vị trí \(O\left( {0;0;0} \right)\) và tên lửa bay theo một đường thẳng với vận tốc không đổi là 600 m/s. Một máy bay không người lái bay theo một đường thẳng với vận tốc không đổi là 1080 km/h và bay theo hướng của vectơ \(\vec u = \left( { - 3;4;0} \right)\). Khi phát hiện máy bay không người lái tại vị trí \(A(6; - 20;1)\) thì tên lửa khai hỏa, rời bệ phóng và sau đó bắn hạ được mục tiêu. Hỏi khoảng cách từ bệ phóng tên lửa đến vị trí máy bay không người bị bắn hạ bằng bao nhiêu km? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục, giả sử cả máy bay không người lái và tên lửa đều không chịu tác động của trọng lực hay lực cản không khí).

Bước 1: Đồng nhất đơn vị đo

·        Vận tốc của tên lửa: \({v_m} = 600{\rm{ m/s}} = 0.6{\rm{ km/s}}\).

·        Vận tốc của máy bay không người lái (drone): \({v_d} = 1080{\rm{ km/h}} = \frac{{1080}}{{3600}}{\rm{ km/s}} = 0.3{\rm{ km/s}}\).

Bước 2: Lập phương trình chuyển động của máy bay không người lái

·        Máy bay bay theo hướng của vector \(\vec u = ( - 3;4;0)\).

·        Độ dài của vector hướng này là: \(|\vec u| = \sqrt {{{( - 3)}^2} + {4^2} + {0^2}}  = 5\).

·        Vector đơn vị chỉ phương (cho biết hướng bay) của máy bay là: \(\overrightarrow {{e_d}}  = \left( { - \frac{3}{5};\frac{4}{5};0} \right) = ( - 0,6;0,8;0)\).

·        Gọi \(t\) (đơn vị: giây) là thời gian kể từ lúc tên lửa khai hỏa. Quãng đường máy bay di chuyển được sau thời gian \(t\) là $0,3t$.

·        Tọa độ của máy bay tại thời điểm \(t\) (gọi là điểm \(D\)) được xác định bằng hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_A} + {v_d} \cdot t \cdot {e_x} = 6 + 0.3 \cdot t \cdot ( - 0.6) = 6 - 0.18t}\\{y = {y_A} + {v_d} \cdot t \cdot {e_y} =  - 20 + 0.3 \cdot t \cdot (0.8) =  - 20 + 0.24t}\\{z = {z_A} + {v_d} \cdot t \cdot {e_z} = 1 + 0.3 \cdot t \cdot (0) = 1}\end{array}} \right.\)

Suy ra vị trí máy bay tại thời điểm \(t\) là \(D(6 - 0.18t; - 20 + 0.24t;1)\).

Bước 3: Thiết lập điều kiện bắn hạ

·        Quãng đường tên lửa bay được từ bệ phóng \(O(0;0;0)\) đến điểm chạm trán \(D\) trong thời gian \(t\) là \({s_m} = 0.6t\).

·        Để tên lửa bắn hạ được máy bay, khoảng cách hình học từ gốc \(O\) đến \(D(t)\) phải bằng đúng quãng đường tên lửa đã bay: \(OD = 0.6t\).

\(O{D^2} = {(0.6t)^2}\)

\( \Leftrightarrow {(6 - 0.18t)^2} + {( - 20 + 0.24t)^2} + {1^2} = 0.36{t^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 0.27{t^2} + 11.76t - 437 = 0\\ \Leftrightarrow t \approx 23,969{\rm{ (gi\^a y)}}\end{array}\)

·      Khoảng cách từ bệ phóng đến vị trí bắn hạ chính là quãng đường tên lửa bay được trong thời gian \(t\): \(d = 0,6 \cdot t \approx 0,6 \cdot 23,969 \approx 14,381{\rm{ (km)}}\)