Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( {1;2;0} \right)\) và \(M\left( { - 1;3;4} \right)\). Gọi \(d\) là đường thẳng qua B vuông góc với \(AB\) đồng thời cách \(M\) một khoảng nhỏ nhất. Một vectơ chỉ phương của \(d\) có dạng \(\vec u\left( {2;a;b} \right)\). Tính tổng \(a + b\). 

Giải chi tiết

\(d \bot AB\) nên \(d\) nằm trong mặt phẳng ( \(P\) ) qua \(B\) và vuông góc \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;0; - 3} \right)\)
Có phương trình: \(0\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 2} \right) - 3\left( {z - 0} \right) = 0\)
hay \(\left( P \right):z = 0 \Rightarrow \left( P \right)\) trùng \(\left( {xOy} \right)\)
Khoảng cách từ \(M\left( { - 1;3;4} \right)\) đến \(\left( P \right)\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(\left( d \right)\) đi qua \(H\) là hình chiếu của \(M\left( { - 1;3;4} \right)\) xuống \(\left( {xOy} \right) \Rightarrow H\left( { - 1;3;0} \right)\). Vậy ( \(d\) ) có vtcp là \(\overrightarrow {BH} = \left( { - 2;1;0} \right)\)
Gt cho \(\left( d \right)\) có vtcp dạng \(\vec u\left( {2;a;b} \right)// - \left( {2; - 1;0} \right)\)
\( \Rightarrow a = - 1,b = 0 \Rightarrow a + b = - 1 \Rightarrow C\).

Đáp án cần chọn là: C