Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi và\(AB = BD = a\), \(SA = a\sqrt 3 \),\(SA \bot (ABCD)\). Gọi M là điểm trên cạnh SB sao cho\(BM = \frac{2}{3}SB\). Giả sử N là điểm di động trên cạnh AD. Tìm vị trí điểm N để\(BN \bot DM\)?

Phương pháp giải.

Gọi tiếp điểm theo tham số, viết phương trình tiếp tuyến, lập phương trình diện tích tìm tham số thỏa mãn.

Giải chi tiết.

Ta có \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}} = 2 + \frac{5}{{x - 2}} \Rightarrow y' = - \frac{5}{{{{(x - 2)}^2}}}.\)

Gọi tiếp điểm là \(A\left( {a + 2,\;2 + \frac{5}{a}} \right).\)

Khi đó tiếp tuyến tại A có dạng \(y = - \frac{5}{{{a^2}}}(x - a - 2) + 2 + \frac{5}{a} = - \frac{{5x}}{{{a^2}}} + \frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{{{a^2}}}.\)

Tiếp tuyến cắt trục Oy tại \(E\left( {0,\;\frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{{{a^2}}}} \right),\)cắt trục Ox tại \(F\left( {\frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{5},\;0} \right).\)

Diện tích tam giác OEF bằng \(\frac{1}{2}\left| {\frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{{{a^2}}}} \right|\left| {\frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{5}} \right| = \frac{2}{5}.\)

\( \Leftrightarrow {(2{a^2} + 10a + 10)^2} = 4{a^4}.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{a^2} + 10a + 10 = 2a,}\\{2{a^2} + 10a + 10 = - 2a.}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1,}\\{a = - 5.}\end{array}} \right.\)

Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn hay có 2 điểm thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: C.

Mở rộng:

• Công thức tổng quát: Với hàm số \(y = f\left( x \right)\), tiếp tuyến tại điểm \(A\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) có phương trình:

           \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\)

o   Giao điểm với trục hoành: \(x = {x_0} - \frac{{f\left( {{x_0}} \right)}}{{f'\left( {{x_0}} \right)}}\)

o   Giao điểm với trục tung:\(\;y = f\left( {{x_0}} \right) - {x_0}f'\left( {{x_0}} \right)\)

o   Diện tích tam giác \(OEF = \frac{1}{2} \cdot \left| {{x_E}} \right| \cdot \left| {{y_F}} \right|\;\)

·        Luôn nhớ diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến \( = \frac{1}{2} \cdot \left| {{x_0} - \frac{{f\left( {{x_0}} \right)}}{{f'\left( {{x_0}} \right)}}} \right| \cdot \left| {f\left( {x\_0} \right) - {x_0}f'\left( {{x_0}} \right)} \right|\)

·        Khi đề yêu cầu diện tích bằng số cụ thể, chỉ cần giải phương trình theo \({x_0}\)

Phương pháp giải

Số cực trị của hàm số y=|f(x)| bằng tổng số cực trị của hàm số y=f(x) và số nghiệm của phương trình f(x)=0

Giải chi tiết

Ta có công thức tổng quát: \(S = a + b,\)trong đó:

a là số điểm cực trị của y=f(x), b là số nghiệm của f(x)=0.

Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số y=f(x) có \(a = 2\)điểm cực trị.

Xét phương trình \(f(x - 2001) - 2019 = 0 \Leftrightarrow f(x - 2001) = 2019.\)

Số nghiệm của phương trình trên là số giao điểm của đồ thị \(y = f(x - 2001)\)và đường thẳng \(y = 2019\)

Đồ thị y=f(x-2001) là đồ thị y=f(x) tịnh tiến theo chiều dương trục Ox 2001 đơn vị.

Từ bảng biến thiên, đường thẳng y=2019 cắt đồ thị y=f(x-2001) tại b=1 điểm không tiếp xúc.

Vậy số cực trị của hàm số \(y = \left| {f(x - 2001) - 2019} \right|\) là \(S = a + b = 2 + 1 = 3.\)

Đáp án cần điền là: 3

Mở rộng:

·       Công thức tổng quát: Số cực trị của \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) bằng:

số cực trị của \(f\) + số nghiệm của \(f\left( x \right) = 0\;\)(không tiếp xúc)

o   Tại nghiệm tiếp xúc (bội chẵn), \(\left| f \right|\) không tạo cực trị mới.

·       Dựa bảng biến thiên của \(f\): đếm cực trị của\(\;f\), rồi đếm nghiệm \(f = 0\) có đổi dấu.