Cho hình chóp \({\rm{S}}.{\rm{ABC}}\) có \({\rm{SA}} = {\rm{SB}} = {\rm{SC}} = {\rm{AB}} = {\rm{AC}} = \) a và \(BC = a\sqrt 2 \). Khi đó cosin góc của hai vector \(\overrightarrow {SC} \) và \(\overrightarrow {AB} \) bằng.

Phương pháp giải

Tính góc bằng cách tính tích vô hướng của hai vector.

Giải chi tiết

Ta có: \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SC} \cdot \overrightarrow {AB} }}{{\left| {\overrightarrow {SC} \cdot } \right|\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \overrightarrow {AB} }}{{{a^2}}} = \frac{{\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} }}{{{a^2}}}\)
Từ giả thiết suy ra \(SAB\) là tam giác đều và \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\)
Từ đó ta tính được: \(\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {AB} = a \cdot a \cdot {\rm{cos}}{120^ \circ } = - \frac{{{a^2}}}{2},\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} = 0\)
Nên \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AB} } \right) = - \frac{1}{2}\)

Đáp án cần chọn là A