Cho tứ diện \(OABC\) có \(\angle AOB = \angle BOC = {60^ \circ };\angle AOC = {90^ \circ };OA = OB = OC = 1.M\) là điểm thuộc cạnh \(OA\) sao cho \(AM = 2.MO;N\) là trung điểm \(BC\). Tính độ dài vector \(\overrightarrow {MN} \).

Phương pháp giải

Đưa về vector trong không gian biểu diễn \(\overrightarrow {MN} \) thông qua các vector \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {OD} \) từ đó tìm độ dài.

Giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {ON} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OC} \).
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| { - \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OC} } \right|\)\( \Rightarrow M{N^2} = \frac{1}{9}O{A^2} + \frac{1}{4}O{B^2} + \frac{1}{4}O{C^2} - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OC} } \right) + \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {OC} \)\( = \frac{1}{9} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{25}}{{36}}\)Vậy \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{5}{6}\).

Đáp án cần chọn là: D