Cho hàm số \(y = {x^3} + 3m{x^2} - {m^3}\) có đồ thị (\({C_m}\)) và đường thẳng \(d:y = {m^2}x + 2{m^3}\). Biết rằng \({m_1},{m_2}\left( {{m_1} > {m_2}} \right)\) là hai giá trị thực của \(m\) để đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2},{x_3}\) thỏa mãn \({x_1}^4 + {x_2}^4 + {x_3}^4 = 2075\). Phát biểu nào sau đây là đúng về quan hệ giữa hai giá trị \({m_1},{m_2}\) ?

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và ( \({C_m}\) )
\({x^3} + 3m{x^2} - {m^3} = {m^2}x + 2{m^3}\)\( \Leftrightarrow {x^3} + 3m{x^2} - {m^2}x - 3{m^3} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{x^3} - {m^2}x} \right) + \left( {3m{x^2} - 3{m^3}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - {m^2}} \right) + 3m\left( {{x^2} - {m^2}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x + 3m} \right)\left( {{x^2} - {m^2}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 3m}\\{x = m}\\{x = - m}\end{array}} \right.\)Để đường thẳng \(d\) cắt đồ thị ( \({C_m}\) ) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2},{x_3} \Leftrightarrow m \ne 0\).
Khi đó, \({x_1}{\;^4} + {x_2}{\;^4} + {x_3}{\;^4} = 83 \Leftrightarrow {m^4} + {( - m)^4} + {( - 3m)^4} = 2075\)
\( \Leftrightarrow 83{m^4} = 2075 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 5 \)Vậy \({m_1} = \sqrt 5 ,{m_2} = - \sqrt 5 \) hay \({m_1} - {m_2} = 2\sqrt 5 \).

Đáp án cần chọn là: D