Cho khai triển đa thức \(P\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{5} + \frac{2}{5}x} \right)^{14}} = {a_0} + {a_1}x +  \ldots  + {a_{13}}{x^{13}} + {a_{14}}{x^{14}}\). Tổng các giá trị của \(k\) thoả mãn hệ số \({a_k}\left( {0 \le k \le 14} \right)\) là hệ số lớn nhất trong khai triển trên bằng \(\_\_\_\_\) .
Đáp án: ___

Đáp án đúng là: 19

Giải chi tiết

Khai triển nhị thức Newtơn của \({\left( {\frac{1}{5} + \frac{2}{5}x} \right)^{14}}\), ta có:
${\left(\frac{1}{5}+\frac{2}{5}x\right)}^{14}={\sum }_{k=0}^{14}{C}_{14}^k{\left(\frac{1}{5}\right)}^{14-k}{\left(\frac{2}{5}x\right)}^k={\sum }_{k=0}^{14}{C}_{14}^k{\left(\frac{1}{5}\right)}^{14-k}{\left(\frac{2}{5}\right)}^k{x}^k$.
Suy ra: $a_k={\sum }_{k=0}^{14}{C}_{14}^k{\left(\frac{1}{5}\right)}^{14-k}{\left(\frac{2}{5}\right)}^k$.
Giả sử \({a_k}\) là hệ số lớn nhất, khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a_k} \ge {a_{k + 1}}}\\{{a_k} \ge {a_{k - 1}}}\end{array}} \right.\).
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{C_{14}^k{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{14 - k}} \cdot {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^k} \ge C_{14}^{k + 1}{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{14 - \left( {k + 1} \right)}} \cdot {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^{k + 1}}}\\{C_{14}^k{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{14 - k}} \cdot {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^k} \ge C_{14}^{k - 1}{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{14 - \left( {k - 1} \right)}} \cdot {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^{k - 1}}}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{{14 - k}} \ge \frac{2}{{k + 1}}}\\{\frac{2}{k} \ge \frac{1}{{14 - k + 1}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{k \ge 9}\\{k \le 10}\end{array} \Leftrightarrow 9 \le k \le 10} \right.} \right.\)Mà \(k \in \mathbb{N}\) nên \(k \in \left\{ {9;10} \right\}\).
Vậy tổng các giá trị của \(k\) thoả mãn là 19 .

Đáp án cần điền là: 19