Khuôn viên của một công viên có dạng hình chữ nhật ABCD với AB = 100 m; AD = 80 m. Người ta muốn chia công viên thành hai khu gồm một khu dành cho trẻ em, một khu dành cho người lớn. Để tạo thiết kế độc đáo và lạ mắt người ta dùng một đường cong chia khuôn viên thành hai phần H₁ (không tô màu) dành cho người lớn và H₂ (tô màu) dành cho trẻ em như hình vẽ bên với AH = 40 m; AE = 50 m; AP = 20 m và EF // AB; PQ // AD.

Biết rằng khi xét trong một hệ toạ độ Oxy, đường cong trong hình là một phần của một đồ thị hàm số bậc ba. Phần chính giữa của công viên người ta muốn mắc dây đèn trang trí dọc theo đoạn thẳng MN như hình. Biết giá tiền mỗi mét dây trang trí của phần dành cho trẻ em là 120 nghìn đồng và phần dành cho người lớn là 200 nghìn đồng. Tổng số tiền mắc dây đèn trang trí trên đoạn MN là bao nhiêu triệu đồng?

a) Gọi p (triệu đồng) là giá của mỗi ti vi, x là số ti vi. Khi đó, hàm cầu là p = p(x).

Theo giả thiết, tốc độ thay đổi của x tỉ lệ với tốc độ thay đổi của p nên hàm số p = p(x) là hàm số bậc nhất nên. Do đó, p(x) = ax + b (a khác 0).

Giá tiền p₁ = 14 ứng với x₁ = 1 000, giá tiền p₂ = 13,5 ứng với x₂ = 1 000 + 100 = 1 100.

Do đó, phương trình đường thẳng p(x) = ax + b đi qua hai điểm (1 000; 14) và (1 100; 13,5).

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}14=1000\text{a}+\text{b}\\ 13,5=1100\text{a}+\text{b}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\text{a}=-\frac{-1}{200}\\ \text{b}=19\end{array}$ (thỏa mãn).

Vậy hàm cầu là: p(x) $=-\frac{1}{200}\text{x}+19.$

b) Vì p $=-\frac{1}{200}\text{x}+19\Rightarrow$ x = –200p + 3 800.

Hàm doanh thu từ tiền bán ti vi là:

R(p) = px = p(−200p + 3 800) = −200p² + 3 800p.

Để doanh thu là lớn nhất thì ta cần tìm p sao cho R đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: R′(p) = −400p + 3 800, R′(p) = 0 $\iff \text{p}=\frac{-19}{2}$.

Bảng biến thiên:

Vậy công ty nên giảm giá số tiền một chiếc ti vi là: $14-\frac{19}{2}=4,5$ (triệu đồng) thì doanh thu là lớn nhất.

c) Doanh thu bán hàng của x sản phẩm là:

$R\left(x\right)=x.p\left(x\right)=x.\left(\frac{-1}{200}x+19\right)=\frac{-x^2}{200}+19x$ (triệu đồng).

Do đó, hàm số thể hiện lợi nhuận thu được khi bán x sản phẩm là:

$P\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right)=\frac{-x^2}{200}+19x-12000+3x=\frac{-x^2}{200}+22x-12000$ (triệu đồng).

Để lợi nhuận là lớn nhất thì P(x) là lớn nhất.

Ta có: $P\text{'}\left(x\right)=\frac{-x}{100}+22,P\text{'}\left(x\right)=0\iff x=2200$.

Bảng biến thiên:

Vậy có 2 200 ti vi được bán ra thì lợi nhuận là cao nhất.

Số ti vi mua tăng lên là: 2 200 – 1 000 = 1 200 (chiếc).

Vậy cửa hàng nên đặt giá bán là: $14-0,5.\frac{1200}{100}=8$ (triệu đồng).

Ta kí hiệu các điểm như trong hình vẽ.

Có AI = IB $=\frac{\text{A}\text{B}}{2}=\frac{20}{2}=10$ (m), IJ = BC = 20 (m).

Đặt EF = FG = GH = HE = x (m, x > 0).

$\text{F}\text{H}=\text{E}\text{G}=\sqrt{\text{E}{\text{H}}^2+\text{H}{\text{G}}^2}=\sqrt{{\text{x}}^2+{\text{x}}^2}=\text{x}\sqrt{2}\left(\text{m}\right)$.

$\text{E}\text{I}=\text{G}\text{J}=\frac{\text{I}\text{J}-\text{E}\text{G}}{2}=\frac{20-\text{x}\sqrt{2}}{2}\left(\text{m}\right)$.

Xét tam giác AIE vuông tại I:

$\text{A}\text{E}=\sqrt{\text{A}{\text{I}}^2+\text{I}{\text{E}}^2}=\sqrt{10^2+{\left(\frac{20-\text{x}\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{{\text{x}}^2}{2}-10\sqrt{2}\text{x}+200}$ (m).

LN = OM = EG = HF = x$\sqrt{2}$ (m), LP = $\frac{\text{L}\text{N}}{2}=\frac{\text{x}\sqrt{2}}{2}$ (m).

Xét tam giác KLP vuông tại P:

$\text{K}\text{P}=\sqrt{\text{K}{\text{L}}^2-\text{L}{\text{P}}^2}=\sqrt{\frac{{\text{x}}^2}{2}-10\sqrt{2}\text{x}+200-\frac{{\text{x}}^2}{2}}=\sqrt{200-10\sqrt{2}\text{x}}$ (m).

Điều kiện: x ≤ $10\sqrt{2}$.

Thể tích khối chóp là: $\text{V}=\frac{1}{3}\cdot \text{K}\text{P}\cdot {\text{S}}_{\text{L}\text{M}\text{N}\text{O}}=\frac{1}{3}\sqrt{200-10\sqrt{2}\text{x}}\cdot {\text{x}}^2\left({\text{m}}^3\right)$.

Đặt y = $\frac{1}{3}\sqrt{200-10\sqrt{2}\text{x}}\cdot {\text{x}}^2$, ta có $\text{y}\text{'}=\frac{-25\sqrt{2}{\text{x}}^2+400\text{x}}{3\sqrt{200-10\sqrt{2}\text{x}}}=0\iff [\begin{array}{l}\text{x}=0\left(\text{L}\right)\\ \text{x}=8\sqrt{2}\end{array}$.

Bảng biến thiên:

Vậy thể tích khối chóp lớn nhất khi x = 8$\sqrt{2}$ (m).

Diện tích tấm bạt bị cắt khi đó là:

S = 4S_AEB = $4\cdot \frac{1}{2}\cdot \text{E}\text{I}\cdot \text{A}\text{B}=2\cdot \frac{20-8\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2}\cdot 20=80\left({\text{m}}^2\right).$