Một nhà sản xuất trung bình bán được 1 000 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 ti vi mỗi tuần.

(a) Tìm hàm cầu.

(b) Công ty nên giảm giá bao nhiêu cho người mua để doanh thu là lớn nhất?

(c) Nếu hàm chi phí hằng tuần là C(x) = 12 000 − 3x (triệu đồng), trong đó x là số ti vi bán ra trong tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán như thế nào để lợi nhuận là lớn nhất?

Ta kí hiệu các điểm như trong hình vẽ.

Có AI = IB $=\frac{\text{A}\text{B}}{2}=\frac{20}{2}=10$ (m), IJ = BC = 20 (m).

Đặt EF = FG = GH = HE = x (m, x > 0).

$\text{F}\text{H}=\text{E}\text{G}=\sqrt{\text{E}{\text{H}}^2+\text{H}{\text{G}}^2}=\sqrt{{\text{x}}^2+{\text{x}}^2}=\text{x}\sqrt{2}\left(\text{m}\right)$.

$\text{E}\text{I}=\text{G}\text{J}=\frac{\text{I}\text{J}-\text{E}\text{G}}{2}=\frac{20-\text{x}\sqrt{2}}{2}\left(\text{m}\right)$.

Xét tam giác AIE vuông tại I:

$\text{A}\text{E}=\sqrt{\text{A}{\text{I}}^2+\text{I}{\text{E}}^2}=\sqrt{10^2+{\left(\frac{20-\text{x}\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{{\text{x}}^2}{2}-10\sqrt{2}\text{x}+200}$ (m).

LN = OM = EG = HF = x$\sqrt{2}$ (m), LP = $\frac{\text{L}\text{N}}{2}=\frac{\text{x}\sqrt{2}}{2}$ (m).

Xét tam giác KLP vuông tại P:

$\text{K}\text{P}=\sqrt{\text{K}{\text{L}}^2-\text{L}{\text{P}}^2}=\sqrt{\frac{{\text{x}}^2}{2}-10\sqrt{2}\text{x}+200-\frac{{\text{x}}^2}{2}}=\sqrt{200-10\sqrt{2}\text{x}}$ (m).

Điều kiện: x ≤ $10\sqrt{2}$.

Thể tích khối chóp là: $\text{V}=\frac{1}{3}\cdot \text{K}\text{P}\cdot {\text{S}}_{\text{L}\text{M}\text{N}\text{O}}=\frac{1}{3}\sqrt{200-10\sqrt{2}\text{x}}\cdot {\text{x}}^2\left({\text{m}}^3\right)$.

Đặt y = $\frac{1}{3}\sqrt{200-10\sqrt{2}\text{x}}\cdot {\text{x}}^2$, ta có $\text{y}\text{'}=\frac{-25\sqrt{2}{\text{x}}^2+400\text{x}}{3\sqrt{200-10\sqrt{2}\text{x}}}=0\iff [\begin{array}{l}\text{x}=0\left(\text{L}\right)\\ \text{x}=8\sqrt{2}\end{array}$.

Bảng biến thiên:

Vậy thể tích khối chóp lớn nhất khi x = 8$\sqrt{2}$ (m).

Diện tích tấm bạt bị cắt khi đó là:

S = 4S_AEB = $4\cdot \frac{1}{2}\cdot \text{E}\text{I}\cdot \text{A}\text{B}=2\cdot \frac{20-8\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2}\cdot 20=80\left({\text{m}}^2\right).$

Ta có H(0; 40); Q(20; 50); F(100; 50).

Giả sử đường cong có phương trình f(x) = ax³ + bx² + cx + d (a > 0).

Ta có f’(x) = 3ax² + 2bx + c.

Vì ba điểm H, Q, F thuộc đường cong, Q là điểm cực trị của đường cong nên ta có:

$\{\begin{array}{l}\text{f}\left(0\right)=40\\ \text{f}\left(20\right)=50\\ \text{f}\left(100\right)=50\\ {\text{f}}^{\prime }\left(20\right)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\text{a}\cdot 0^3+\text{b}\cdot 0^2+\text{c}\cdot 0+\text{d}=40\\ \text{a}\cdot 20^3+\text{b}\cdot 20^2+\text{c}\cdot 20+\text{d}=50\\ \text{a}\cdot 100^3+\text{b}\cdot 100^2+\text{c}\cdot 100+\text{d}=50\\ 3\text{a}\cdot 20^2+2\text{b}\cdot 20+\text{c}=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\text{a}=\frac{1}{4000}\\ \text{b}=\frac{-7}{200}\\ \text{c}=\frac{11}{10}\\ \text{d}=40\end{array}$.

Do đó, $\text{f}\left(\text{x}\right)=\frac{1}{4000}{\text{x}}^3-\frac{7}{200}{\text{x}}^2+\frac{11}{10}\text{x}+40.$

Vì M là trung điểm của AB nên M(50; 0). Do đó, hoành độ điểm I là x = 50.

Ta có tung độ điểm I là $\text{f}\left(\text{5}\text{0}\right)=\frac{1}{4000}\cdot \text{5}{\text{0}}^3-\frac{7}{200}\cdot \text{5}{\text{0}}^2+\frac{11}{10}\cdot \text{5}\text{0}+40=\frac{155}{4}.$

Do đó $\text{M}\text{I}=\frac{155}{4}$ (m), NI = MN – MI = $80-\frac{155}{4}=\frac{165}{4}$ (m).

Tổng số tiền mắc dây đèn trang trí đoạn MN là:

$120000\cdot \frac{155}{4}+200000\cdot \frac{165}{4}=12900000$ đồng = 12,9 triệu đồng.