Một tấm bạt hình vuông cạnh 20 m như hình vẽ dưới đây. Người ta dự tính cắt phần tô đậm của tấm bạt rồi gập và may lại (các đường may không đáng kể), nhằm mục đích phủ lên tháp đèn trang trí (tháp dạng hình chóp tứ giác đều) để tránh hư hại tháp khi trời mưa.

Biết khối chóp hình thành sau khi gập và may lại cần thể tích lớn nhất thì mới phủ kín tháp đèn. Hỏi phần diện tích tấm bạt bị cắt là bao nhiêu để đảm bảo yêu cầu trên?

a) Gọi p (triệu đồng) là giá của mỗi ti vi, x là số ti vi. Khi đó, hàm cầu là p = p(x).

Theo giả thiết, tốc độ thay đổi của x tỉ lệ với tốc độ thay đổi của p nên hàm số p = p(x) là hàm số bậc nhất nên. Do đó, p(x) = ax + b (a khác 0).

Giá tiền p₁ = 14 ứng với x₁ = 1 000, giá tiền p₂ = 13,5 ứng với x₂ = 1 000 + 100 = 1 100.

Do đó, phương trình đường thẳng p(x) = ax + b đi qua hai điểm (1 000; 14) và (1 100; 13,5).

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}14=1000\text{a}+\text{b}\\ 13,5=1100\text{a}+\text{b}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\text{a}=-\frac{-1}{200}\\ \text{b}=19\end{array}$ (thỏa mãn).

Vậy hàm cầu là: p(x) $=-\frac{1}{200}\text{x}+19.$

b) Vì p $=-\frac{1}{200}\text{x}+19\Rightarrow$ x = –200p + 3 800.

Hàm doanh thu từ tiền bán ti vi là:

R(p) = px = p(−200p + 3 800) = −200p² + 3 800p.

Để doanh thu là lớn nhất thì ta cần tìm p sao cho R đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: R′(p) = −400p + 3 800, R′(p) = 0 $\iff \text{p}=\frac{-19}{2}$.

Bảng biến thiên:

Vậy công ty nên giảm giá số tiền một chiếc ti vi là: $14-\frac{19}{2}=4,5$ (triệu đồng) thì doanh thu là lớn nhất.

c) Doanh thu bán hàng của x sản phẩm là:

$R\left(x\right)=x.p\left(x\right)=x.\left(\frac{-1}{200}x+19\right)=\frac{-x^2}{200}+19x$ (triệu đồng).

Do đó, hàm số thể hiện lợi nhuận thu được khi bán x sản phẩm là:

$P\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right)=\frac{-x^2}{200}+19x-12000+3x=\frac{-x^2}{200}+22x-12000$ (triệu đồng).

Để lợi nhuận là lớn nhất thì P(x) là lớn nhất.

Ta có: $P\text{'}\left(x\right)=\frac{-x}{100}+22,P\text{'}\left(x\right)=0\iff x=2200$.

Bảng biến thiên:

Vậy có 2 200 ti vi được bán ra thì lợi nhuận là cao nhất.

Số ti vi mua tăng lên là: 2 200 – 1 000 = 1 200 (chiếc).

Vậy cửa hàng nên đặt giá bán là: $14-0,5.\frac{1200}{100}=8$ (triệu đồng).

Ta có H(0; 40); Q(20; 50); F(100; 50).

Giả sử đường cong có phương trình f(x) = ax³ + bx² + cx + d (a > 0).

Ta có f’(x) = 3ax² + 2bx + c.

Vì ba điểm H, Q, F thuộc đường cong, Q là điểm cực trị của đường cong nên ta có:

$\{\begin{array}{l}\text{f}\left(0\right)=40\\ \text{f}\left(20\right)=50\\ \text{f}\left(100\right)=50\\ {\text{f}}^{\prime }\left(20\right)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\text{a}\cdot 0^3+\text{b}\cdot 0^2+\text{c}\cdot 0+\text{d}=40\\ \text{a}\cdot 20^3+\text{b}\cdot 20^2+\text{c}\cdot 20+\text{d}=50\\ \text{a}\cdot 100^3+\text{b}\cdot 100^2+\text{c}\cdot 100+\text{d}=50\\ 3\text{a}\cdot 20^2+2\text{b}\cdot 20+\text{c}=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\text{a}=\frac{1}{4000}\\ \text{b}=\frac{-7}{200}\\ \text{c}=\frac{11}{10}\\ \text{d}=40\end{array}$.

Do đó, $\text{f}\left(\text{x}\right)=\frac{1}{4000}{\text{x}}^3-\frac{7}{200}{\text{x}}^2+\frac{11}{10}\text{x}+40.$

Vì M là trung điểm của AB nên M(50; 0). Do đó, hoành độ điểm I là x = 50.

Ta có tung độ điểm I là $\text{f}\left(\text{5}\text{0}\right)=\frac{1}{4000}\cdot \text{5}{\text{0}}^3-\frac{7}{200}\cdot \text{5}{\text{0}}^2+\frac{11}{10}\cdot \text{5}\text{0}+40=\frac{155}{4}.$

Do đó $\text{M}\text{I}=\frac{155}{4}$ (m), NI = MN – MI = $80-\frac{155}{4}=\frac{165}{4}$ (m).

Tổng số tiền mắc dây đèn trang trí đoạn MN là:

$120000\cdot \frac{155}{4}+200000\cdot \frac{165}{4}=12900000$ đồng = 12,9 triệu đồng.