Hai nhà máy được đặt tại các vị trí \(A\) và \(B\) cách nhau \(4km\). Nhà máy xử lí nước thải được đặt ở vị trí \(C\) trên đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\), cách trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\) một khoảng là 3 km. Người ta muốn làm đường ống dẫn nước thải từ hai nhà máy \(A,B\) đến nhà máy xử lí nước thải \(C\) gồm các đoạn thẳng \(AI,BI\) và \(IC\),với \(I\) là vị trí nằm giữa \(M\) và \(C\). Cần chọn vị trí điểm \(I\) để tổng độ dài đường ống nhỏ nhất, giá trị nhỏ nhất đó là bao nhiêu km. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải

  ¾  Đặt \(IM = x\), biểu thị \(IA + IB + IC\) thông qua các đại lượng đã biết và ẩn.

  ¾  Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) :

Bước 1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}\) thuộc khoảng (\(a;b\)) mà tại đó \(f'\left( x \right)\) bằng 0 hoặc không tồn tại.
Βước 2. Tính \(f\left( a \right);f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right); \ldots ;f\left( {{x_n}} \right);f\left( b \right)\).
Bước 3. Gọi \(M\) là số lớn nhất và \(m\) là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó:

Giải chi tiết

Đặt \(IM = x\left( {km} \right)\left( {0 \le x \le 3} \right)\).
Ta có: \(IA = IB = \sqrt {I{M^2} + M{A^2}} = \sqrt {{x^2} + 4} ;IC = MC - IM = 3 - x\)
Tổng độ dài đường ống là: \(IA + IB + IC = 2\sqrt {{x^2} + 4} + 3 - x\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2\sqrt {{x^2} + 4} + 3 - x\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\).
Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=2\cdot \frac{{\left(x^2+4\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{x^2+4}}-1=2\cdot \frac{2\text{x}}{2\sqrt{x^2+4}}-1=\frac{2\text{x}}{\sqrt{x^2+4}}-1$
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{\rm{x}}}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} = 1 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} = \sqrt {{x^2} + 4} \Leftrightarrow 4{{\rm{x}}^2} = {x^2} + 4 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\) hoặc \(x = - \frac{2}{{\sqrt 3 }}\) (loại). \(f\left( 0 \right) = 7;f\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) = 3 + 2\sqrt 3 ;f\left( 3 \right) = 2\sqrt {13} \).
Vậy ${\text{min}}_{\left[0;3\right]}f\left(x\right)=f\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=3+2\sqrt{3}$.
Vậy \(IM = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \approx 1,155\left( {{\rm{\;km}}} \right)\) thì tổng độ dài đường ống nhỏ nhất bằng \(3 + 2\sqrt 3 \approx 6,464\left( {{\rm{\;km}}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A