Một con báo đen đang đuổi theo một con ngựa vằn. Con ngựa vằn nhận ra con báo đen cách xa nó 40 m. Từ thời điểm này, con báo đen đuổi theo con ngựa vằn với tốc độ \({v_1}\left( t \right) = 15{e^{ - 0,1t}}{\rm{\;m}}/\) s và con ngựa vằn chạy trốn với tốc độ \({v_2}\left( t \right) = 20 - 20{e^{ - 0,1t}}{\rm{\;m}}/\) s trên cùng một đường thẳng (với tính theo giây và \(0 \le t \le 60\) )

Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

Giải chi tiết

1.Đúng vì $v_1^{\text{'}}\left(t\right)=-0,1.15e^{-0,1t}<0\Rightarrow v_1\left(t\right)$ luôn nghịch biến tức là báo đen có tốc độ giảm dần
$v_2\left(t\right)=20-20e^{-0,1t}\Rightarrow v_2^{\text{'}}=2.e^{-0,1t}>0$ nên tốc độ ngựa vằn tăng.

2.Sai. Quãng đường của báo đen đi là:
\({x_1} = \smallint {v_1}\left( t \right)dt = \smallint 15 \cdot {e^{ - 0,1t}}dt = - 150{e^{ - 0,1t}} + {C_1}\)\({x_1}\left( 0 \right) = - 150{e^0} + {C_1} = 0 \Leftrightarrow {C_1} = 150 \Rightarrow {x_1} = - 150{e^{ - 0,1t}} + 150\)Tương tự quãng đường của ngựa vằn đi là:
\({x_2}\left( t \right) = \smallint {v_2}\left( t \right)dt = \smallint \left( {20 - 20{e^{ - 0,1t}}} \right)dt = 20t + 200{e^{ - 0,1t}} + {C_2}\)\({x_2}\left( 0 \right) = 20.0 + 200.{e^0} + {C_2} = 40 \Leftrightarrow {C_2} = 40 - 200 = - 160\)\( \Rightarrow {x_2}\left( t \right) = 20t + 200{e^{ - 0,1t}} - 160\)Khoảng cách báo đen và ngựa vằn là
\({\rm{\Delta }}x = {x_2} - {x_1} = 20t + 200{e^{ - 0,1t}} - 160 + 150{e^{ - 0,1t}} - 150 = 20t + 250{e^{ - 0,1t}} - 310 = f\left( t \right)\)Xét \(f'\left( t \right) = 20 - 35{e^{ - 0,1t}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - 0,1t}} = \frac{{20}}{{35}} \Leftrightarrow t = - 10{\rm{ln}}\left( {\frac{{20}}{{35}}} \right)\)
Khi đó \({\rm{min}}f\left( t \right) = f\left( { - 10{\rm{ln}}\frac{{20}}{{35}}} \right) \approx 1,92315\)
Khoảng cách min này đạt được khi $x_2^{\text{'}}=x_1^{\text{'}}\iff v_2=v_1$ điều này là sai
Vậy 2,3 sai.

Đáp án cần chọn là: Đ; S; S