Hằng ngày bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí trên lề đường thẳng đến trường. Minh đứng tại vị trí \[A\] cách lề đường một khoảng \[50\,{\rm{m}}\] để chờ Hùng. Khi nhìn thấy Hùng đạp xe đến địa điểm \[B\], cách mình một đoạn \[200\,{\rm{m}}\] thì Minh bắt đầu đi bộ ra lề đường để bắt kịp xe. Vận tốc đi bộ của Minh là \[5\,{\rm{km/h}}\], vận tốc xe đạp của Hùng là \[15\,{\rm{km/h}}\]. Hãy xác định vị trí \[C\] trên lề đường (tham khảo hình vẽ) để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Hướng dẫn giải

Vận tốc của bạn Minh: \[{v_1} = 5\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\].

Vận tốc của bạn Hùng: \[{v_2} = 15\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\].

Áp dụng định lý Pithago vào tam giác vuông \[AHB\]: \[BH = \sqrt {{{\left( {0,2} \right)}^2} - {{\left( {0,05} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {15} }}{{20}}\,\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\].

Gọi \[BC = x\left( {{\rm{km}}} \right),\,\,x > 0\].

Suy ra: \[CH = \frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x\], \[x \le \frac{{\sqrt {15} }}{{20}}\].

Ta cần xác định vị trí điểm \[C\] để Minh và Hùng gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia

Nghĩa là: ta cần tìm \[x\] để thời gian hai bạn di chuyển đến \[C\] là bằng nhau.

Thời gian Hùng đi từ \[B\] đến \[C\] là: \[{t_2} = \frac{{{S_{BC}}}}{{{v_2}}} = \frac{x}{{15}}\left( h \right)\].

Quãng đường \[AC\] Minh đã đi là: \[AC = \sqrt {C{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x} \right)}^2} + {{\left( {0,05} \right)}^2}} \]

Thời gian Minh đã đi từ \[A\] đến \[C\] là: \[{t_1} = \frac{{{S_{AC}}}}{{{v_1}}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x} \right)}^2} + {{\left( {0,05} \right)}^2}} }}{5}\left( {\rm{h}} \right)\].

Theo yêu cầu bài toán: \[\frac{{\sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x} \right)}^2} + {{\left( {0,05} \right)}^2}} }}{5} = \frac{x}{{15}}\]

Bình phương 2 vế: \[\frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x} \right)}^2} + {{\left( {0,05} \right)}^2}}}{{25}} = \frac{{{x^2}}}{{225}}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 9\left( {\frac{3}{{80}} - \frac{{\sqrt {15} }}{{10}}x + {x^2}} \right) + \frac{9}{{400}} = {x^2}\\ \Leftrightarrow 8{x^2} - \frac{{9\sqrt {15} }}{{10}}x + \frac{9}{{25}} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 0,3\\x \approx 0,1\end{array} \right.\end{array}\]

Vì \[0 < x \le \frac{{\sqrt {15} }}{{20}} \approx 0,19\] nên \[x \approx 0,1\] thỏa mãn.

Vậy hai bạn Minh và Hùng di chuyển đến vị trí \[C\] cách điểm \[B\] một đoạn \[x \approx 0,1\,\left( {{\rm{km}}} \right) = 100\left( {\rm{m}} \right).\]