Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;2} \right),\,B\left( {3;0} \right)\) và \(C\left( { - 2; - 1} \right).\)

a) Lập phương trình đường cao kẻ từ \(A.\)

b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ \(B.\)

Hướng dẫn giải

a) Bán kính của đường tròn là \(R = IA = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = 5\).

Phương trình của đường tròn là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\).

b) Toạ độ trung điểm \(I\) của  \(AB\) là \(I\left( { - 2;1} \right)\).

Bán kính của đường tròn là \(R = AI = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}}  = \sqrt {17} \).

Phương trình của đường tròn là \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 17\).

c) Có tâm \(I\left( {1;3} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng  \(x + 2y + 3 = 0\).

Khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(x + 2y + 3 = 0\) bằng bán kính \(R = \frac{{|1 + 2.3 + 3|}}{{\sqrt 5 }} = 2\sqrt 5 \).

Phương trình đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 20\).

Hướng dẫn giải         

a) Ta có: \(x =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{b}{{2.2}} = 1 \Leftrightarrow b =  - 4.\)

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;4} \right)\) suy ra \(4 = {2.0^2} + b.0 + c \Leftrightarrow c = 4.\)

Vậy \(\left( P \right):y = 2{x^2} - 4x + 4.\)

b) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\) và \(B\left( {2;3} \right)\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 = a - 4 + c\\3 = 4a - 8 + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + c = 2\\4a + c = 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\c =  - 1\end{array} \right..\)

c)  Vì (P) có đỉnh \(I\left( {1;4} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{2} = 1\\ - \frac{{{b^2} - 4c}}{4} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2\\c = 5\end{array} \right..\)

Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} - 2x + 5.\)

d) (P) đi qua các điểm \(A\left( {0; - 1} \right),B\left( {1; - 1} \right);\,C\left( { - 1;1} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 = c\\ - 1 = a + b + c\\\,\,\,\,1 = a - b + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c =  - 1\\a = 1\\b =  - 1\end{array} \right.\).

Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} - x - 1.\) 

e) Ta có \(x =  - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a + b = 0\) (1)

 và \(\frac{3}{4} = a{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + b\left( {\frac{1}{2}} \right) + c \Leftrightarrow a + 2b + 4c = 3\)  (2) và \(a > 0.\)

Hàm số nhận giá trị bằng 1 khi \(x = 1\) nên \(a + b + c = 1\)           (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\a + 2b + 4c = 3\\a + b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 1\\c = 1\end{array} \right..\)

Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} - x + 1.\)