Cầu Cổng Vàng (The Golden Gate Bridge) ở Mỹ. Xét hệ trục tọa độ Oxyz với \(O\) là bệ của chân cột trụ tại mặt nước, trục Oz trùng với cột trụ, mặt phẳng \((Oxy)\) là mặt nước và xem như trục Oy cùng phương với cầu như hình vẽ. Dây cáp ADD thuộc trục Oz và điểm \(A\) thuộc mặt phẳng Oyz, trong đó điểm \(D\) là đỉnh cột trụ cách mặt nước 227m, điểm \(A\) cách mặt nước 75m và cách trục Oz 343m. Giả sử ta dùng một đoạn dây nối điểm \(N\) trên dây cáp AD và điểm \(M\) trên thành cầu, biết \(M\) cách mặt nước 75m và MN song song với cột trụ. Độ dài MN song song với cột trụ, M cách trục Oz một khoảng bằng 230m

Đáp án cần điền là: _____

Giải chi tiết:

Ta có \(A \in Oyz\) và \(A\) cách mặt nước 75m, cách trụcOz là 343m \( \Rightarrow A(0;343;75)\).

 Điểm \(D\) là đỉnh cột trụ cách mặt nước 227m \( \Rightarrow D(0;0;227)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AD} = (0; - 343;152)\).

Phương trình đường thẳng AD là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 343t}\\{z = 227 + 152t}\end{array}} \right.\) (\(t \in \mathbb{R}\)).

Vì \(N \in AD \Rightarrow N(0;343t;227 + 152t)\).

Điểm \(M\) trên thành cầu cách mặt nước 75m và cách trục Oz một khoảng 230m nên tọa độ điểm \(M\) là \(M(0;230;75)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = (0;343t - 230;152 + 152t)\).

Vì MN song song với cột trụ \( \Rightarrow MN \bot Oy \Rightarrow \overrightarrow {MN} \cdot \vec j = 0\).

   \( \Leftrightarrow 343t - 230 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{230}}{{343}}\).

Thay \(t\) vào ta được \(\overrightarrow {MN} = \left( {0;0;\frac{{17176}}{{343}}} \right) \Rightarrow MN = \frac{{17176}}{{343}} \approx 50,1\).

Đáp án cần điền là: 50,1