Điền số thích hợp vào chỗ trống.

Một quả bóng hình cầu có bán kính \(r\) đang được treo trong một góc của tường nhà (như hình vẽ) hai tia Ox, Oy hợp với nhau một góc ${120}^{°}$, một điểm \(B\) cố định nằm trên mép của hai bờ tường và cách mặt đất 80 cm, sợi dây treo bóng có độ dài \(AB = 30\) cm và đây cũng là độ dài ngắn nhất nối điểm \(B\) với mặt xung quanh của quả bóng. Biết rằng quả bóng tiếp xúc với hai bên bờ tường và điểm thấp nhất của quả bóng cách mặt đất 20 cm . Đường kính quả bóng là _______ milimet (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

[ 344 ]

Giải chi tiết:

Trong mặt phẳng nằm ngang đi qua tâm \(I\), góc giữa hai bức tường là ${120}^{°}$, suy ra góc tạo bởi đoạn nối tâm \(I\) và giao tuyến của hai tường với mỗi bức tường là ${60}^{°}$

Xét tam giác vuông tại điểm tiếp xúc, ta có khoảng cách từ tâm \(I\) đến giao tuyến của hai bức tường là:

$IH=\frac{IM}{\cos {30}^{°}}=\frac{r}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2r}{\sqrt{3}}.$

Theo giả thiết, sợi dây \(AB = 30\) cm là khoảng cách ngắn nhất từ \(B\) đến mặt cầu, nên \(IB = r + 30\).

Điểm thấp nhất của bóng cách đất 20 cm và \(B\) cách đất 80 cm. Gọi \(h\) là chênh lệch độ cao giữa \(B\) và \(I\), ta có \(h = 80 - (20 + r) = 60 - r\).

    Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông có cạnh huyền IB và các cạnh góc vuông là IH và \(h\):

     \[I{B^2} = I{H^2} + {h^2} \Leftrightarrow {(r + 30)^2} = {\left( {\frac{{2r}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} + {(r - 60)^2}.\]

Giải phương trình:

        \[{(r + 30)^2} - {\left( {\frac{{2r}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} - {(r - 60)^2} = 0.\]

Ta tìm được \(r \approx 17,188\) cm.

Đường kính quả bóng là \(d = 2r \approx 34,376\) cm.

Đổi sang milimet và làm tròn: 343,76 mm \( \approx 344\) mm.

Đáp án cần điền là: 344