Trong truyện cổ tích Cây tre trăm đốt (các đốt được đánh thứ tự từ 1 đến 100), khi không vác được cây tre dài tận 100 đốt như vậy về nhà, anh Khoai ngồi khóc, Bụt liền hiện lên, bày cho anh ta: ``Con hãy hô câu thần chú khắc xuất, khắc xuất thì cây tre sẽ rời ra, con sẽ mang được về nhà''. Biết rằng cây tre 100 đốt được tách ra một cách ngẫu nhiên thành các đoạn ngắn có chiều dài 2 đốt và 5 đốt (có thể chỉ có một loại). Xác suất để số đoạn 2 đốt nhiều hơn số đoạn 5 đốt đúng 1 là \dots\dots\dots (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án cần điền là: _____

Phương pháp giải:

Tìm các bộ \((x;y)\) thỏa mãn \(2x + 5y = 100\) và đưa về tính tổng tổ hợp.

Giải chi tiết:

Giả sử có \(x\) đoạn 2 đốt và \(y\) đoạn 5 đốt được tách ra từ cây tre 100 đốt đã cho.

Ta có: \(2x + 5y = 100 \Rightarrow x = \frac{{100 - 5y}}{2} = 50 - \frac{{5y}}{2}\).

Vì \(x \in \mathbb{N}\) nên \(y\) phải là số chẵn. Do \(2x + 5y = 100\) và \(x,y \ge 0\) nên \(y \in \{ 0;2;4; \ldots ;20\} \).

Với mỗi bộ số \((x;y)\) tìm được, ta có tổng số đoạn là \(n = x + y\). Số cách để tách cây tre thành \(x\) đoạn 2 đốt và \(y\) đoạn 5 đốt là \(C_{x + y}^y\) (hoặc \(C_{x + y}^x\)).

Do đó, tổng số cách để tách cây tre 100 đốt thành các đoạn 2 đốt và 5 đốt là:

   \[\sum {C_{x + y}^y} = C_{50}^0 + C_{47}^2 + C_{44}^4 + C_{41}^6 + C_{38}^8 + C_{35}^{10} + C_{32}^{12} + C_{29}^{14} + C_{26}^{16} + C_{23}^{18} + C_{20}^{20} = 545.813.094.\]

Để số đoạn 2 đốt nhiều hơn số đoạn 5 đốt đúng 1 thì ta có hệ:

     \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 5y = 100}\\{x - y = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2(y + 1) + 5y = 100}\\{x = y + 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{7y = 98}\\{x = y + 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 14}\\{x = 15}\end{array}} \right.\]

Số cách để tách cây tre thành 15 đoạn 2 đốt và 14 đoạn 5 đốt là:

                \[C_{15 + 14}^{14} = C_{29}^{14} = 77.558.760.\]

Xác suất cần tìm là:

   \[P = \frac{{77.558.760}}{{545.813.094}} \approx 0,1421.\]

Đáp án cần điền là: 0,14