Trong truyện cổ tích Cây tre trăm đốt (các đốt được đánh thứ tự từ 1 đến 100), khi không vác được cây tre dài tận 100 đốt như vậy về nhà, anh Khoai ngồi khóc, Bụt liền hiện lên, bày cho anh ta: ``Con hãy hô câu thần chú khắc xuất, khắc xuất thì cây tre sẽ rời ra, con sẽ mang được về nhà''. Biết rằng cây tre 100 đốt được tách ra một cách ngẫu nhiên thành các đoạn ngắn có chiều dài 2 đốt và 5 đốt (có thể chỉ có một loại). Xác suất để số đoạn 2 đốt nhiều hơn số đoạn 5 đốt đúng 1 là ... (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án cần điền là: _____

Giải chi tiết:

Trong mặt phẳng nằm ngang đi qua tâm \(I\), góc giữa hai bức tường là ${120}^{°}$, suy ra góc tạo bởi đoạn nối tâm \(I\) và giao tuyến của hai tường với mỗi bức tường là ${60}^{°}$

Xét tam giác vuông tại điểm tiếp xúc, ta có khoảng cách từ tâm \(I\) đến giao tuyến của hai bức tường là:

$IH=\frac{IM}{\cos {30}^{°}}=\frac{r}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2r}{\sqrt{3}}.$

Theo giả thiết, sợi dây \(AB = 30\) cm là khoảng cách ngắn nhất từ \(B\) đến mặt cầu, nên \(IB = r + 30\).

Điểm thấp nhất của bóng cách đất 20 cm và \(B\) cách đất 80 cm. Gọi \(h\) là chênh lệch độ cao giữa \(B\) và \(I\), ta có \(h = 80 - (20 + r) = 60 - r\).

    Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông có cạnh huyền IB và các cạnh góc vuông là IH và \(h\):

     \[I{B^2} = I{H^2} + {h^2} \Leftrightarrow {(r + 30)^2} = {\left( {\frac{{2r}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} + {(r - 60)^2}.\]

Giải phương trình:

        \[{(r + 30)^2} - {\left( {\frac{{2r}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} - {(r - 60)^2} = 0.\]

Ta tìm được \(r \approx 17,188\) cm.

Đường kính quả bóng là \(d = 2r \approx 34,376\) cm.

Đổi sang milimet và làm tròn: 343,76 mm \( \approx 344\) mm.

Đáp án cần điền là: 344

Phương pháp giải:

Tính số phần tử của không gian mẫu \(n(\Omega )\). Mỗi cách chọn 3 số khác nhau chỉ có duy nhất 1 cách sắp xếp giảm dần

TH1: Hoa chọn tập hợp có chứa chữ số 9. Số cách chọn 2 chữ số còn lại là \(C_8^2 = 28\) cách. Trong trường hợp này, vì số của Hoa chắc chắn có chữ số hàng trăm là 9 (do sắp xếp giảm dần), mà Bình chỉ chọn từ tập \(\{ 1, \ldots ,8\} \) nên số của Bình có chữ số hàng trăm tối đa là 8. Vậy \(X > Y\) luôn đúng. Số cách là: \(28 \times 56 = 1568\) cách.

TH2: Hoa không chọn chữ số 9. Vậy cả Hoa và Bình đều chọn 3 chữ số từ tập \(S = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8\} \).

Số cách chọn của Hoa lúc này là \(C_8^3 = 56\) cách, của Bình là \(C_8^3 = 56\) cách.

Trong 56 cách chọn 3 chữ số từ tập \(S\) này, gọi \({n_{X > Y}}\) là số trường hợp Hoa có số lớn hơn Bình, \({n_{X < Y}}\) là số trường hợp Hoa có số nhỏ hơn Bình, và \({n_{X = Y}}\) là số trường hợp hai bạn chọn giống nhau.

Ta có: \({n_{X > Y}} + {n_{X < Y}} + {n_{X = Y}} = 56 \times 56\).

Vì tập số là như nhau nên \({n_{X > Y}} = {n_{X < Y}}\).

Số trường hợp giống nhau \({n_{X = Y}} = 56\) (khi cả hai chọn cùng một bộ 3 chữ số).

Vậy \({n_{X > Y}} = \frac{{{{56}^2} - 56}}{2} = 1540\) cách.

Tổng số trường hợp thuận lợi: \(n(A) = 1568 + 1540 = 3108\) cách.

Xác suất cần tìm: \(P(A) = \frac{{3108}}{{4704}} \approx 0,6607\).

Đáp án cần điền là: 0,66