Trong công viên, có một hồ nước hình bán nguyệt (một nửa đường tròn) đường kính AB = 20 m . Tại A và B người ta dựng hai bức tượng cao lần lượt là 8m và 10m.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải:
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz với \(A\) là gốc tọa độ. Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tích vô hướng để tính góc giữa hai vectơ. \(\cos \alpha = \frac{{M{{A'}^2} + M{{B'}^2} - A'{{B'}^2}}}{{2 \cdot MA' \cdot MB'}}\)
Giải chi tiết:
Gọi vị trí chân máy ảnh trên mặt đất là \({M_0}(x;y;0)\). Do \({M_0}\) nằm trên cung tròn bán kính 10 tâm \(I\) nên:
$\({(x - 10)^2} + {y^2} = 100 \Leftrightarrow {y^2} = 100 - {(x - 10)^2} = 20x - {x^2}\)\((cao1.6m):\)M(x; y; 1.6).
Tính các khoảng cách bình phương:
\(M{A'^2} = {x^2} + {y^2} + {(1.6 - 8)^2} = {x^2} + (20x - {x^2}) + {( - 6.4)^2} = 20x + 40.96\)
\(M{B'^2} = {(x - 20)^2} + {y^2} + {(1.6 - 10)^2} = ({x^2} - 40x + 400) + (20x - {x^2}) + {( - 8.4)^2} = 470.56 - 20x\)
\(A'{B'^2} = {20^2} + 0 + {(10 - 8)^2} = 404\)
Áp dụng định lý hàm số Cosin trong \(\Delta A'MB'\):
\(\cos \alpha = \frac{{M{{A'}^2} + M{{B'}^2} - A'{{B'}^2}}}{{2 \cdot MA' \cdot MB'}}\)
\(\cos \alpha = \frac{{(20x + 40.96) + (470.56 - 20x) - 404}}{{2\sqrt {20x + 40.96} \cdot \sqrt {470.56 - 20x} }}\)
\(\cos \alpha = \frac{{107.52}}{{2\sqrt {(20x + 40.96)(470.56 - 20x)} }}\)
Để góc \(\alpha \) lớn nhất (\(\alpha \in [0;\pi ]\)) thì \(\cos \alpha \) phải nhỏ nhất.
\( \Rightarrow \) Mẫu số phải lớn nhất.
Xét hàm số \(f(x) = (20x + 40.96)(470.56 - 20x)\) trên đoạn [0; 20].
Đây là tam thức bậc hai dạng \( - 400{x^2} + \ldots \), đạt cực đại tại đỉnh parabol:
\(x = \frac{{ - (40.96 \cdot ( - 20) + 470.56 \cdot 20)}}{{2 \cdot ( - 400)}} \approx 10.74\)
f'(x)=0\().Thay\)\(x \approx 10.74\) vào biểu thức \(\cos \alpha \), ta được:
\(\cos {\alpha _{min}} \approx 0.210\)
Làm tròn đến hàng đơn vị:
Đáp án cần điền là: 78
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập