Trong công viên, có một hồ nước hình bán nguyệt (một nửa đường tròn) đường kính \(AB = 20m\). Tại \(A\) và \(B\) người ta dựng hai bức tượng cao lần lượt là 8m và 10m. Một người đứng trên phần cung tròn của bờ hồ muốn đặt máy ảnh cao 1.6m để chụp toàn cảnh hai bức tượng. Gọi góc quan sát \(\alpha \) là góc tạo bởi hai tia nối vị trí đặt máy ảnh với hai đỉnh của các bức tượng. Khi người đó đi chuyển trên phần cung tròn của bờ hồ thì góc quan sát lớn nhất bằng ___ độ. (làm tròn hàng đơn vị)

Phương pháp giải:

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz với \(A\) là gốc tọa độ. Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tích vô hướng để tính góc giữa hai vectơ. \(\cos \alpha = \frac{{M{{A'}^2} + M{{B'}^2} - A'{{B'}^2}}}{{2 \cdot MA' \cdot MB'}}\)

Giải chi tiết:

Gọi vị trí chân máy ảnh trên mặt đất là \({M_0}(x;y;0)\). Do \({M_0}\) nằm trên cung tròn bán kính 10 tâm \(I\) nên:

$\({(x - 10)^2} + {y^2} = 100 \Leftrightarrow {y^2} = 100 - {(x - 10)^2} = 20x - {x^2}\)\((cao1.6m):\)M(x; y; 1.6).

Tính các khoảng cách bình phương:

\(M{A'^2} = {x^2} + {y^2} + {(1.6 - 8)^2} = {x^2} + (20x - {x^2}) + {( - 6.4)^2} = 20x + 40.96\)

\(M{B'^2} = {(x - 20)^2} + {y^2} + {(1.6 - 10)^2} = ({x^2} - 40x + 400) + (20x - {x^2}) + {( - 8.4)^2} = 470.56 - 20x\)

\(A'{B'^2} = {20^2} + 0 + {(10 - 8)^2} = 404\)

Áp dụng định lý hàm số Cosin trong \(\Delta A'MB'\):

\(\cos \alpha = \frac{{M{{A'}^2} + M{{B'}^2} - A'{{B'}^2}}}{{2 \cdot MA' \cdot MB'}}\)

\(\cos \alpha = \frac{{(20x + 40.96) + (470.56 - 20x) - 404}}{{2\sqrt {20x + 40.96} \cdot \sqrt {470.56 - 20x} }}\)

\(\cos \alpha = \frac{{107.52}}{{2\sqrt {(20x + 40.96)(470.56 - 20x)} }}\)

Để góc \(\alpha \) lớn nhất (\(\alpha \in [0;\pi ]\)) thì \(\cos \alpha \) phải nhỏ nhất.

\( \Rightarrow \) Mẫu số phải lớn nhất.

Xét hàm số \(f(x) = (20x + 40.96)(470.56 - 20x)\) trên đoạn [0; 20].

Đây là tam thức bậc hai dạng \( - 400{x^2} + \ldots \), đạt cực đại tại đỉnh parabol:

\(x = \frac{{ - (40.96 \cdot ( - 20) + 470.56 \cdot 20)}}{{2 \cdot ( - 400)}} \approx 10.74\)

f'(x)=0\().Thay\)\(x \approx 10.74\) vào biểu thức \(\cos \alpha \), ta được:

\(\cos {\alpha _{min}} \approx 0.210\)

$\Rightarrow {\alpha }_{max}\approx \arccos \left(0.210\right)\approx {77.87}^{°}$

Làm tròn đến hàng đơn vị: $\alpha \approx {78}^{°}$

Đáp án cần điền là: 78