Kí hiệu \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = {e^{2x}}\), trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = \ln 4\).

Đường thẳng \(x = k\) \((0 < k < \ln 4)\) chia \((H)\) thành hai phần \({H_1},{H_2}\) như hình vẽ bên.

 

Khi quay \({H_1},{H_2}\) quanh trục hoành ta được hai khối tròn xoay có thể tích tương ứng là \({V_1},{V_2}\).

Giá trị của \(k\) bằng bao nhiêu để \({V_1} = 2{V_2}\)?

 

Giải chi tiết:

Thể tích khối tròn xoay của \({H_1}\) và \({H_2}\) lần lượt là:

           \[{V_1} = \pi \int_0^k {{{\left( {{e^{2x}}} \right)}^2}} dx,\]\[{V_2} = \pi \int_k^{\ln 4} {{{\left( {{e^{2x}}} \right)}^2}} dx.\]

Điều kiện \({V_1} = 2{V_2}\) cho:

  \[\pi \int_0^k {{e^{4x}}} dx = 2\pi \int_k^{\ln 4} {{e^{4x}}} dx.\]

Rút gọn \(\pi \):

    \[\int_0^k {{e^{4x}}} dx = 2\int_k^{\ln 4} {{e^{4x}}} dx.\]

Tính tích phân:

                             \[\int {{e^{4x}}} dx = \frac{1}{4}{e^{4x}}.\]

Thay cận:

                     \[\frac{1}{4}\left( {{e^{4k}} - 1} \right) = 2 \cdot \frac{1}{4}\left( {{e^{4\ln 4}} - {e^{4k}}} \right).\]

Suy ra:

                                    \[{e^{4k}} - 1 = 2({4^4} - {e^{4k}})\]

\[ \Rightarrow 3{e^{4k}} = 33 \Rightarrow {e^{4k}} = 11.\]

Do đó:

                    \[4k = \ln 11 \Rightarrow k = \frac{1}{2}\ln 11.\]

Đáp án cần chọn: C.