Đồ thị \(\left( P \right)\) của một hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) đã bị xoá đi, chỉ còn lại trục đối xứng \(\Delta ,\) điểm \(A\)thuộc \(\left( P \right)\) và tiếp tuyến tại \(A\) của \(\left( P \right)\) được cho dưới đây:

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua những điểm nào trong các điểm sau?

Giải chi tiết:

Đa thức phải tìm có dạng :  \(P(x) = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\)

Ta có: \(P'\left( x \right) = 2ax + b.\)

Vì trục đối xứng \((\Delta )\)có phương trình \(x = 1\) nên: \( - \frac{b}{{2a}} = 1{\rm{ (1)}}\)

Vì đồ thị \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {3;0} \right)\) nên ta có \(P\left( 3 \right) = 0,\) tức là: \(9a + 3b + c = 0\left( 2 \right).\)

Vì hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \(A\left( {3;0} \right)\) bằng \(\tan \frac{\pi }{4}\) nên ta có \(P'\left( 3 \right) = 1,\) tức là: \(6a + b = 1\left( 3 \right).\)

Giải hệ ba phương trình \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) với ba ẩn số \(a,b\) và \(c\) ta được:

\(a = \frac{1}{4};b = - \frac{1}{2};c = - \frac{3}{4}\)

Vậy \(P(x) = \frac{1}{4}{x^2} - \frac{1}{2}x - \frac{3}{4}.\)

Đáp án cần chọn là: A; C