Cho tứ diện \(MNPQ\) có hai tam giác \(MNP\) và \(QNP\) là hai tam giác cân lần lượt tại \(M\) và \(Q\). Góc giữa hai đường thẳng \(MQ\) và \(NP\) bằng

Hướng dẫn giải

Trả lời: 1,5

-Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\).

Dễ dàng chứng minh \(AICD\) là hình vuông \( \Rightarrow CI = \frac{1}{2}AB \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(C\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot SA}\\{BC \bot AC}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAC)} \right.\).

- Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CI \bot AB}\\{CI \bot SA}\end{array} \Rightarrow CI \bot (SAB)} \right.\)

Hình chiếu của \(\Delta SBC\) trên \(mp(SAB)\) là \(\Delta SIB\).

\({S_{\Delta SIB}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{4} \cdot 3 \cdot 2 = \frac{3}{2} = 1,5\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Vì \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên \(A'A \bot (ABC)\).

b) Vì \(A'A \bot (ABC) \Rightarrow A'A \bot AC\).

Mặt khác \(AB \bot AC\).

Vì vậy \(AC \bot \left( {ABB'A'} \right)\), mà \(AC \subset \left( {ACB'} \right)\) nên \(\left( {ACB'} \right) \bot \left( {ABB'A'} \right)\).

Do đó \(\left( {\left( {ACB'} \right),\left( {ABB'A'} \right)} \right) = 90^\circ \).

c) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CC' = \left( {ACC'A'} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right)}\\{AC \bot CC',BC \bot CC'}\\{AC \subset \left( {ACC'A'} \right),BC \subset \left( {BCC'B'} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {\left( {ACC'A'} \right),\left( {BCC'B'} \right)} \right) = (AC,BC) = \widehat {ACB}\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có: \(\tan \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {ACB} = 30^\circ \).

Vậy \(\left( {\left( {ACC'A'} \right),\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \widehat {ACB} = 30^\circ \).

d) \(\begin{array}{l}{\rm{Ta c\'o : }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AC = \left( {ACB'} \right) \cap (ABC)}\\{AB \bot AC,AB' \bot AC}\\{AB \subset (ABC),AB' \subset \left( {ACB'} \right)}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow \left( {\left( {ACB'} \right),(ABC)} \right) = \left( {AB',AB} \right) = \widehat {BAB'} = 60^\circ .\end{array}\)

Tam giác \(ABB'\) vuông tại \(B\) có:

\(BB' = AB\tan 60^\circ  = a\sqrt 3 .\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = 2a.\)

Tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ:

\(a \cdot a\sqrt 3  + 2a \cdot a\sqrt 3  + a\sqrt 3  \cdot a\sqrt 3  = (3\sqrt 3  + 3){a^2}\).