Cho tứ diện đều \(ABCD\), \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Khi đó côsin góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(DM\) bằng

Hướng dẫn giải

Trả lời: 1,5

-Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\).

Dễ dàng chứng minh \(AICD\) là hình vuông \( \Rightarrow CI = \frac{1}{2}AB \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(C\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot SA}\\{BC \bot AC}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAC)} \right.\).

- Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CI \bot AB}\\{CI \bot SA}\end{array} \Rightarrow CI \bot (SAB)} \right.\)

Hình chiếu của \(\Delta SBC\) trên \(mp(SAB)\) là \(\Delta SIB\).

\({S_{\Delta SIB}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{4} \cdot 3 \cdot 2 = \frac{3}{2} = 1,5\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Vì \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên \(A'A \bot (ABC)\).

b) Vì \(A'A \bot (ABC) \Rightarrow A'A \bot AC\).

Mặt khác \(AB \bot AC\).

Vì vậy \(AC \bot \left( {ABB'A'} \right)\), mà \(AC \subset \left( {ACB'} \right)\) nên \(\left( {ACB'} \right) \bot \left( {ABB'A'} \right)\).

Do đó \(\left( {\left( {ACB'} \right),\left( {ABB'A'} \right)} \right) = 90^\circ \).

c) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CC' = \left( {ACC'A'} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right)}\\{AC \bot CC',BC \bot CC'}\\{AC \subset \left( {ACC'A'} \right),BC \subset \left( {BCC'B'} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {\left( {ACC'A'} \right),\left( {BCC'B'} \right)} \right) = (AC,BC) = \widehat {ACB}\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có: \(\tan \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {ACB} = 30^\circ \).

Vậy \(\left( {\left( {ACC'A'} \right),\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \widehat {ACB} = 30^\circ \).

d) \(\begin{array}{l}{\rm{Ta c\'o : }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AC = \left( {ACB'} \right) \cap (ABC)}\\{AB \bot AC,AB' \bot AC}\\{AB \subset (ABC),AB' \subset \left( {ACB'} \right)}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow \left( {\left( {ACB'} \right),(ABC)} \right) = \left( {AB',AB} \right) = \widehat {BAB'} = 60^\circ .\end{array}\)

Tam giác \(ABB'\) vuông tại \(B\) có:

\(BB' = AB\tan 60^\circ  = a\sqrt 3 .\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = 2a.\)

Tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ:

\(a \cdot a\sqrt 3  + 2a \cdot a\sqrt 3  + a\sqrt 3  \cdot a\sqrt 3  = (3\sqrt 3  + 3){a^2}\).