Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(I\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(H,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên \(SC,\,SD\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hướng dẫn giải

Trả lời: 1,5

-Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\).

Dễ dàng chứng minh \(AICD\) là hình vuông \( \Rightarrow CI = \frac{1}{2}AB \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(C\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot SA}\\{BC \bot AC}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAC)} \right.\).

- Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CI \bot AB}\\{CI \bot SA}\end{array} \Rightarrow CI \bot (SAB)} \right.\)

Hình chiếu của \(\Delta SBC\) trên \(mp(SAB)\) là \(\Delta SIB\).

\({S_{\Delta SIB}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{4} \cdot 3 \cdot 2 = \frac{3}{2} = 1,5\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Vì \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên \(A'A \bot (ABC)\).

b) Vì \(A'A \bot (ABC) \Rightarrow A'A \bot AC\).

Mặt khác \(AB \bot AC\).

Vì vậy \(AC \bot \left( {ABB'A'} \right)\), mà \(AC \subset \left( {ACB'} \right)\) nên \(\left( {ACB'} \right) \bot \left( {ABB'A'} \right)\).

Do đó \(\left( {\left( {ACB'} \right),\left( {ABB'A'} \right)} \right) = 90^\circ \).

c) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CC' = \left( {ACC'A'} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right)}\\{AC \bot CC',BC \bot CC'}\\{AC \subset \left( {ACC'A'} \right),BC \subset \left( {BCC'B'} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {\left( {ACC'A'} \right),\left( {BCC'B'} \right)} \right) = (AC,BC) = \widehat {ACB}\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có: \(\tan \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {ACB} = 30^\circ \).

Vậy \(\left( {\left( {ACC'A'} \right),\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \widehat {ACB} = 30^\circ \).

d) \(\begin{array}{l}{\rm{Ta c\'o : }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AC = \left( {ACB'} \right) \cap (ABC)}\\{AB \bot AC,AB' \bot AC}\\{AB \subset (ABC),AB' \subset \left( {ACB'} \right)}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow \left( {\left( {ACB'} \right),(ABC)} \right) = \left( {AB',AB} \right) = \widehat {BAB'} = 60^\circ .\end{array}\)

Tam giác \(ABB'\) vuông tại \(B\) có:

\(BB' = AB\tan 60^\circ  = a\sqrt 3 .\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = 2a.\)

Tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ:

\(a \cdot a\sqrt 3  + 2a \cdot a\sqrt 3  + a\sqrt 3  \cdot a\sqrt 3  = (3\sqrt 3  + 3){a^2}\).