Cho biểu thức \(f\left( x \right) = {4^x} - {2.2^{x + 1}} + 3\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 8,25

\(\begin{array}{*{20}{l}}B&{ = {{\left( {{3^\alpha }} \right)}^2} + 2 \cdot {3^\alpha } \cdot {3^{ - \alpha }} + {{\left( {{3^{ - \alpha }}} \right)}^2} - {{\left( {{9^2}} \right)}^\alpha } + {{\left( {{9^2}} \right)}^{ - \alpha }}}\\{}&{ = {3^{2\alpha }} + 2 \cdot {3^{\alpha  + ( - \alpha )}} + {{\left( {{3^2}} \right)}^{ - \alpha }} - {{\left( {{9^\alpha }} \right)}^2} + {{\left( {{9^{ - \alpha }}} \right)}^2}}\\{}&{ = {9^\alpha } + 2 \cdot {3^0} + {9^{ - \alpha }} - {{\left( {{9^\alpha }} \right)}^2} + {{\left( {{9^\alpha }} \right)}^{ - 2}} = \frac{1}{2} + 2 + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{ - 1}} - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{ - 2}} = \frac{{33}}{4} = 8,25.}\end{array}\)

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Hàm số xác định khi \(5x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{5}\). Do đó hàm số có tập xác định \(D = \left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\).

b) Với \(\forall {x_1},{x_2} \in \left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\); \({x_1} < {x_2}\)\( \Rightarrow 5{x_1} - 3 < 5{x_2} - 3\)\( \Rightarrow {\log _3}\left( {5{x_1} - 3} \right) < {\log _3}\left( {5{x_2} - 3} \right)\).

Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\).

c) Với \(x = 2\) thì \(y = {\log _3}7\).

Vậy đồ thị hàm số qua điểm \(\left( {2;{{\log }_3}7} \right)\) và không đi qua điểm \(M\).

d) Do hàm số đồng biến trên \(\left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\).

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\) là \(f\left( {\frac{{12}}{5}} \right) = {\log _3}\left( {5.\frac{{12}}{5} - 3} \right) = 2\).

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\) là \(f\left( {\frac{4}{5}} \right) = {\log _3}\left( {5.\frac{4}{5} - 3} \right) = 0\).

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\) là 2.