Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất \(8\% /\) năm. Biết rằng nếu người đó không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Số tiền người đó nhận sau \(n\) năm sẽ được tính theo công thức \({T_n} = 100{(1 + r)^n}\) (triệu đồng), trong đó \(r(\% )\) là lãi suất và \(n\) là số năm gửi tiền. Hỏi số tiền lãi thu được của người đó sau 10 năm là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Hàm số xác định khi \(5x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{5}\). Do đó hàm số có tập xác định \(D = \left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\).

b) Với \(\forall {x_1},{x_2} \in \left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\); \({x_1} < {x_2}\)\( \Rightarrow 5{x_1} - 3 < 5{x_2} - 3\)\( \Rightarrow {\log _3}\left( {5{x_1} - 3} \right) < {\log _3}\left( {5{x_2} - 3} \right)\).

Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\).

c) Với \(x = 2\) thì \(y = {\log _3}7\).

Vậy đồ thị hàm số qua điểm \(\left( {2;{{\log }_3}7} \right)\) và không đi qua điểm \(M\).

d) Do hàm số đồng biến trên \(\left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\).

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\) là \(f\left( {\frac{{12}}{5}} \right) = {\log _3}\left( {5.\frac{{12}}{5} - 3} \right) = 2\).

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\) là \(f\left( {\frac{4}{5}} \right) = {\log _3}\left( {5.\frac{4}{5} - 3} \right) = 0\).

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\) là 2.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) \(Q = {\log _a}{b^3} + {\log _{{a^2}}}{b^6}\)\( = 3{\log _a}b + \frac{6}{2}{\log _a}b\)\( = 6{\log _a}b\).

b) \(P = \frac{{{{\log }_a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) - {{\log }_b}\left( {\frac{{{b^3}}}{{{a^2}}}} \right)}}{{\log _a^2b + 1}}\)\[ = \frac{{3{{\log }_a}a + 2{{\log }_a}b - 3{{\log }_b}b + 2{{\log }_b}a}}{{\log _a^2b + 1}}\]

\[ = \frac{{2{{\log }_a}b + \frac{2}{{{{\log }_a}b}}}}{{\log _a^2b + 1}}\]\[ = \frac{{2\left( {\log _a^2b + 1} \right)}}{{{{\log }_a}b\left( {\log _a^2b + 1} \right)}} = \frac{2}{{{{\log }_a}b}} = 2{\log _b}a\].

c) \(Q = 6{\log _a}b \ne 3P = 6{\log _b}a\).

d) \(Q.P = 6{\log _a}b.\frac{2}{{{{\log }_a}b}} = 12\).