Cho bất phương trình bất phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{0,2}}\left( {{x^2} + 1} \right) \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{0,2}}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right) + 1\) với \(m\) là tham số thực.

Với \(m = 1\) thì tổng các nghiệm nguyên dương không vượt quá 10 của bất phương trình bằng bao nhiêu?

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Đưa về bất phương trình logarit cùng cơ số rồi đưa về hệ bất phương trình bậc hai một ẩn.

Lời giải

Với \(m = 1\) ta có bất phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{0,2}}\left( {{x^2} + 1} \right) \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{0,2}}\left( {{x^2} + 4x + 1} \right) + 1\)

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{0,2}}\left( {{x^2} + 1} \right) \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{0,2}}\left( {{x^2} + 4x + 1} \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{0,2}}\frac{1}{5}\)

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{0,2}}\left( {{x^2} + 1} \right) \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{0,2}}\left( {\frac{{{x^2} + 4x + 1}}{5}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 4x + 1 > 0}\\{{x^2} + 1 \ge \frac{{{x^2} + 4x + 1}}{5}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 4x + 1 > 0}\\{5{x^2} + 5 - {x^2} - 4x - 1 \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 4x + 1 > 0}\\{4{x^2} - 4x + 4 \ge 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > - 2 + \sqrt 3 }\\{x < - 2 - \sqrt 3 }\end{array}} \right.\)

Mà \(m\) nguyên dương và \(m \le 10 \Rightarrow m \in \left\{ {1,2, \ldots ,10} \right\} \Rightarrow \mathop \sum \nolimits^ m = 55\)