Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4m - 1 = 0\) (1) với \(m\) là tham số.

Đáp án đúng là: a) Đ b) S c) S d) Đ

a) Nhận thấy phương trình (1) có biệt thức là \(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 4m + 1 = {m^2} - 2m + 2\).

Ta có: \(\Delta ' = {m^2} - 2m + 2 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 1 \ge 1\) với mọi \(m\).

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

b) Áp dụng hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 4m - 1\end{array} \right.\) .

c) Theo đề, ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = 10\)

\(x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2} = 10\)

\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\)

\(4{\left( {m + 1} \right)^2} - 2\left( {4m - 1} \right) = 10\)

\(4{m^2} + 8m + 4 - 8m + 2 - 10 = 0\)

\(4{m^2} - 4 = 0\)

\({m^2} = 1\)

\(m = 1\) hoặc \(m = - 1\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = 1\) và \(m = - 1\) là giá trị cần tìm.

d) Từ hệ thức Viète ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 4m - 1\end{array} \right.\)

Ta có: \({x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\) hay \({x_1} + {x_2} = 2m + 2\) suy ra \(2m = {x_1} + {x_2} - 2\) (*)

Thay (*) vào \({x_1}{x_2} = 4m - 1\), ta được: \({x_1}{x_2} = 2\left( {{x_1} + {x_2} - 2} \right) - 1\) suy ra \(2{x_1} + 2{x_2} - {x_1}{x_2} = 5.\)

Vậy biểu thức \(2{x_1} + 2{x_2} - {x_1}{x_2} = 5\) luôn đúng với mọi \(m\).