Cho tứ giác nội tiếp \(ABCD\) có tam giác \(ABC\) là tam giác nhọn. Vẽ các đường cao \(AM,CN\) của tam giác \(ABC\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(AM\) và \(CN\).

Đáp án đúng là: a) Đ b) Đ c) S d) Đ

a) Vì \(AM,CN\) là các đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\CN \bot AB\end{array} \right.\)

suy ra \(\widehat {BMH} = \widehat {BNH} = 90^\circ \).

Xét tứ giác \(BNHM\) có \(\widehat {BMH} + \widehat {BNH} = 2.90^\circ = 180^\circ \).

Suy ra tứ giác \(BNHM\) là tứ giác nội tiếp.

Suy ra \(\widehat {MBN} + \widehat {NHM} = 180^\circ \) hay \(\widehat {CBA} + \widehat {NHM} = 180^\circ \).

Mà \(\widehat {CHM} + \widehat {NHM} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Do đó, \(\widehat {ABC} = \widehat {CHM}\).

b) Tứ giác \(BNHM\) nội tiếp nên \(\widehat {MBN} + \widehat {NHM} = 180^\circ \).

Mà \(\widehat {AHC} = \widehat {NHM}\) (đối đỉnh) nên \(\widehat {ABC} + \widehat {AHC} = 180^\circ \).

Mặt khác \(BNHM\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) nên \(\widehat {ADC} + \widehat {ABC} = 180^\circ \).

Do đó, \(\widehat {ADC} = \widehat {AHC}\).

c) Gọi \(E\) là trung điểm \(AC\).

Xét tam giác \(ACM\) có \(\widehat {AMC} = 90^\circ \) và \(ME\) là đường trung tuyến nên

\(EM = EC = EA = \frac{1}{2}AC\) (*).

Xét tam giác \(ACN\) có \(\widehat {ANC} = 90^\circ \) và \(NE\) là đường trung tuyến nên

\(EN = EC = EA = \frac{1}{2}AC\) (**).

Từ (*) và (**) suy ra \(EM = EN = EC = EA = \frac{1}{2}AC\) do đó tứ giác \(ACMN\) nội tiếp.

Suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {MNC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(MC\)).

d) Ta có: \(\widehat {MAC} + \widehat {ACM} = 90^\circ \) (hai góc phụ nhau).

Do đó, \(\widehat {ACM} = 90^\circ - \widehat {MAC}\).

Mà \(\widehat {ACM} + \widehat {ANM} = 180^\circ \) (tứ giác \(ACMN\) nội tiếp) nên \(90^\circ - \widehat {MAC} + \widehat {ANM} = 180^\circ \).

Suy ra \(\widehat {MAC} + 90^\circ = \widehat {ANM}\).