Cho tứ giác nội tiếp \(ABCD\) có tam giác \(ABC\) là tam giác nhọn. Vẽ các đường cao \(AM,CN\) của tam giác \(ABC\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(AM\) và \(CN\).
A. \(\widehat {ABC} = \widehat {CHM}\).
B. \(\widehat {ADC} = \widehat {AHC}\).
C. \(\widehat {MAC} = \widehat {MCN}\).
D. \(\widehat {MAC} + 90^\circ = \widehat {ANM}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: a) Đ b) Đ c) S d) Đ
a) Vì \(AM,CN\) là các đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\CN \bot AB\end{array} \right.\)
suy ra \(\widehat {BMH} = \widehat {BNH} = 90^\circ \).
Xét tứ giác \(BNHM\) có \(\widehat {BMH} + \widehat {BNH} = 2.90^\circ = 180^\circ \).
Suy ra tứ giác \(BNHM\) là tứ giác nội tiếp.
Suy ra \(\widehat {MBN} + \widehat {NHM} = 180^\circ \) hay \(\widehat {CBA} + \widehat {NHM} = 180^\circ \).
Mà \(\widehat {CHM} + \widehat {NHM} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Do đó, \(\widehat {ABC} = \widehat {CHM}\).
b) Tứ giác \(BNHM\) nội tiếp nên \(\widehat {MBN} + \widehat {NHM} = 180^\circ \).
Mà \(\widehat {AHC} = \widehat {NHM}\) (đối đỉnh) nên \(\widehat {ABC} + \widehat {AHC} = 180^\circ \).
Mặt khác \(BNHM\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) nên \(\widehat {ADC} + \widehat {ABC} = 180^\circ \).
Do đó, \(\widehat {ADC} = \widehat {AHC}\).
c) Gọi \(E\) là trung điểm \(AC\).
Xét tam giác \(ACM\) có \(\widehat {AMC} = 90^\circ \) và \(ME\) là đường trung tuyến nên
\(EM = EC = EA = \frac{1}{2}AC\) (*).
Xét tam giác \(ACN\) có \(\widehat {ANC} = 90^\circ \) và \(NE\) là đường trung tuyến nên
\(EN = EC = EA = \frac{1}{2}AC\) (**).
Từ (*) và (**) suy ra \(EM = EN = EC = EA = \frac{1}{2}AC\) do đó tứ giác \(ACMN\) nội tiếp.
Suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {MNC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(MC\)).
d) Ta có: \(\widehat {MAC} + \widehat {ACM} = 90^\circ \) (hai góc phụ nhau).
Do đó, \(\widehat {ACM} = 90^\circ - \widehat {MAC}\).
Mà \(\widehat {ACM} + \widehat {ANM} = 180^\circ \) (tứ giác \(ACMN\) nội tiếp) nên \(90^\circ - \widehat {MAC} + \widehat {ANM} = 180^\circ \).
Suy ra \(\widehat {MAC} + 90^\circ = \widehat {ANM}\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. Tứ giác \(ABOC\) nội tiếp.
B. \(AM.AB = AI.AO\).
C. \(MG\parallel BC\).
D. \(IG \bot CM.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: a) Đ b) S c) Đ d) Đ
a) Do \(AB,AC\) là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {ABO} = \widehat {ACO} = 90^\circ \).
Suy ra tứ giác \(ABOC\) nội tiếp đường tròn tâm \(I\) với \(I\) là trung điểm của \(AO\).
b) Ta có: \(AM.AB = \frac{{AB}}{2}.AB = \frac{{A{B^2}}}{2}\); \(AI.AO = 2AI.AI = 2A{I^2} \ne \frac{{A{B^2}}}{2}\).
Do đó, \(AM.AB \ne AI.AO\).
c) Gọi \(E\) là trung điểm của \(MA\), do \(G\) là trọng tâm \(\Delta CMA\) nên \(G \in CE\) và \(\frac{{GE}}{{CE}} = \frac{1}{3}\).
Mặt khác \(\frac{{ME}}{{BE}} = \frac{1}{3}\) (vì \(ME = \frac{{MA}}{2} = \frac{{MB}}{2}\) nên \(ME = \frac{{BE}}{3}\))
Suy ra \(\frac{{GE}}{{CE}} = \frac{{ME}}{{BE}} = \frac{1}{3}\) nên theo định lí Thalès đảo ta có \(MG\parallel BC\).
d) Gọi \(G'\) là giao của \(OA\) và \(CM\) suy ra \(G'\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\frac{{G'M}}{{CM}} = \frac{1}{3} = \frac{{GE}}{{CE}}\) do đó theo định lí Thalès đảo ta có \(GG'\parallel ME\). (1)
Có \(MI\) là đương trung bình trong \(\Delta OAB\) suy ra \(MI\parallel BO\) mà \(AB \bot BO\) suy ra \(MI \bot BA\) hay \(MI \bot ME\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(MI \bot GG'\).
Lại có \(G'I \bot MK\) (vì \(OA \bot MK\)) nên \(I\) là trực tâm của tam giác \(MGG'\) hay \(GI \bot G'M\) tức là \(GI \bot CM\).
Câu 2
A. Điểm \(A\).
B. Điểm \(B.\)
C. Điểm \(C.\)
D. Điểm \(O\).
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Có tam giác \(ABC\) đều nên \(AB = AC = BC\).
Do đó, có: .
Suy ra phép quay thuận chiều \(120^\circ \) tâm \(O\) biến điểm \(A\) thành điểm \(C.\)
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. Phép quay thuận chiều \(90^\circ \) tâm \(O\).
B. Phép quay thuận chiều \(120^\circ \) tâm \(O\).
C. Phép quay thuận chiều \(180^\circ \) tâm \(O\).
D. Phép quay ngược chiều \(90^\circ \) tâm \(O\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. Khối lượng hàng thực tế mà mỗi xe phải chở là \(\frac{{480}}{{x + 3}}\) (tấn).
B. Phương trình mô tả bài toán trên là \(\frac{{480}}{x} - \frac{{480}}{{x + 3}} = 8\).
C. Số lượng xe ban đầu của đoàn là \(15\) chiếc.
D. Ban đầu mỗi xe phải chở \(32\) tấn hàng.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập