Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc với nhau. Biết rằng \(AB = AC = a,AD = a\sqrt 3 \).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AC \bot AB}\\{AC \bot AD}\end{array} \Rightarrow AC \bot (ABD)} \right.\).

b)\(AD\) là hình chiếu của \(CD\) trên \((ABD)\).

Ta có: \((CD,(ABD)) = (CD,AD) = \widehat {CDA}\).

Tam giác \(ACD\) vuông tại \(A\) có:

\(\tan \widehat {CDA} = \frac{{AC}}{{AD}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {CDA} = 30^\circ \).

Vậy \((CD,(ABD)) = \widehat {CDA} = 30^\circ \).

c) Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\) thì \(AM \bot BC\) (do \(AB = AC\)).

\({\rm{ V\`i  }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AD \bot AB}\\{AD \bot AC}\end{array}} \right. \Rightarrow AD \bot (ABC) \Rightarrow AD \bot BC.\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AM}\\{BC \bot AD}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow BC \bot (ADM)\) \( \Rightarrow BC \bot DM{\rm{.}}\)

Khi đó: \((AM,DM) = \widehat {AMD}\) là góc phẳng nhị diện \([A,BC,D]\).

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên đường cao \(AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Tam giác \(ADM\) vuông tại \(A\) có:

\(\tan \widehat {AMD} = \frac{{AD}}{{AM}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 6  \Rightarrow \widehat {AMD} \approx 67,79^\circ \).

d) Vì \(AB \bot AC,AB \bot AD\) nên \((AC,AD) = \widehat {CAD}\) là góc phẳng nhị diện \([C,AB,D]\) và \(\widehat {CAD} = 90^\circ .\)