Để tiết kiệm, một người quyết định trích ra một số tiền hàng tháng để gửi vào ngân hàng. Cứ đầu mỗi tháng, người đó gửi \(2000000\) đồng vào ngân hàng. Biết rằng lãi suất hàng tháng của ngân hàng là \(0,8\% \) (sẽ được tính vào giữa tháng), và số tiền lãi của tháng đó và số tiền gửi vào thêm sẽ được gộp vào số tiền gốc để tính lãi cho tháng sau. Hỏi sau \(4\) năm, tài khoản tiết kiệm của người đó có bao nhiêu tiền? (nhập đáp án vào ô trống, đơn vị: triệu đồng, kết quả là tròn đến hàng đơn vị).

Giải chi tiết:

Gọi \({u_n}\) là số tiền sau tháng thứ \(n,\) \(M\) là số tiền gửi hàng tháng, \(r\) là lãi suất hàng tháng.

Ta có công thức truy hồi như sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_0} = 0,}\\{{u_{n + 1}} = ({u_n} + M){\mkern 1mu} (1 + r),\quad \forall n \in \mathbb{N}}\end{array}} \right.\)

Biến đổi công thức truy hồi trên: \({u_{n + 1}} = \left( {{u_n} + M} \right)\left( {1 + r} \right)\) \( \Leftrightarrow \;{u_{n + 1}} + \frac{{M(1 + r)}}{r} = (1 + r){u_n} + \frac{{M{{(1 + r)}^2}}}{r}\)

\( \Leftrightarrow \;{u_{n + 1}} + \frac{{M(1 + r)}}{r} = (1 + r)\left( {{u_n} + \frac{{M(1 + r)}}{r}} \right)\)

Đặt \({u_n} + \frac{{M(1 + r)}}{r} = {v_n},\) khi đó ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{v_0} = \frac{{M(1 + r)}}{r},}\\{{v_{n + 1}} = (1 + r){v_n}}\end{array}} \right. \Rightarrow {v_n} = \frac{{M{{(1 + r)}^{n + 1}}}}{r},\quad \forall n \in \mathbb{N}.\)

Khi đó \({u_n} = {v_n} - \frac{{M(1 + r)}}{r} = \frac{{M\left( {{{(1 + r)}^{n + 1}} - (1 + r)} \right)}}{r}.\)

Cho \(r = 0,8\% ,\)\(M = 2{\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} 000,\)\(n = 48,\)ta tính được \({u_{48}} \approx 117{\mkern 1mu} 408{\mkern 1mu} 000{\rm{ }}\)(đồng)