Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng \(a\). Côsin của góc nhị diện \(\left[ {D,\,SA,B} \right]\) là \( - \frac{x}{y}\) (với \(\frac{x}{y}\) là phân số tối giản, \(x,y \in {\mathbb{N}^*}\)). Tính \(P = x - y\).

Đáp án: 44,6.

Tiến hành trải phẳng các mặt của hình chóp ra mặt phẳng (2 lần)

Ta có

+ \[S{A_1},S{A_2}\] lần lượt là vị trí của \(SA\) ở lần trải phẳng thứ 1 và thứ 2

+) \[S{D_1},S{C_1},S{B_1}\] là vị trí của \[SD,SC,SB\] ở lần trải phẳng thứ 2.

Do \(\widehat {BSC} = 15^\circ \), nên \[\widehat {AS{A_2}} = 120^\circ \].

Khi đó, độ dài đường gấp khúc \(AMNPQRTUVS\) ngắn nhất khi 9 điểm \({A_2},M,N,P,Q,R,T,U,V\) thẳng hàng.

Ta có: \[VA_2^2 = S{V^2} + SA_2^2 - 2.SV.SA.\cos \left( {120^\circ } \right) = {3^2} + {40^2} - 2.3.40.\frac{{ - 1}}{2} = 1729\]

\[ \Rightarrow V{A_2} = \sqrt {1729} \]

Vậy khi đó độ dài ngắn nhất của dây đèn led là \[SV + V{A_2} = 3 + \sqrt {1729}  \approx 44,6\] mét.

Đáp án: 45,6

Gọi x, y lần lượt là số gói cà phê loại I và loại II cần sản xuất (\(x,y \in \mathbb{N}\)). Ta có hệ ràng buộc:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{40x + 60y \le 300{\mkern 1mu} 000 \Leftrightarrow 2x + 3y \le 15{\mkern 1mu} 000}\\{60x + 40y \le 240{\mkern 1mu} 000 \Leftrightarrow 3x + 2y \le 12{\mkern 1mu} 000}\end{array}} \right.\)

Hàm mục tiêu lợi nhuận (VNĐ): \(F(x,y) = 10{\mkern 1mu} 000x + 8{\mkern 1mu} 000y\).

Miền nghiệm là một tứ giác lồi. Thay trực tiếp tọa độ các đỉnh của tứ giác vào hàm \(F(x,y)\):

 Tại đỉnh \(O(0;0)\), hàm đạt giá trị \(F(0,0) = 0\).

 Tại đỉnh \(A(4000;0)\), hàm đạt giá trị \(F(4000,0) = 40.000.000\).

 Tại đỉnh \(C(0;5000)\), hàm đạt giá trị \(F(0,5000) = 40.000.000\).

 Tại đỉnh \(B(1200;4200)\), hàm đạt giá trị \(F(1200,4200) = 45.600.000\).

Kết luận: So sánh các kết quả, lợi nhuận tối đa thu được là 45,6 triệu đồng.