Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(SD\) (tham khảo hình vẽ bên). Tang của góc giữa đường thẳng \(BM\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng

Hướng dẫn giải

Trả lời: 60

Gọi \(O\) là giao điểm \(AC\) và \(BD,I\) là trung điểm của \(AO\).

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Do \(MI//SO\) nên \(MI \bot \left( {ABCD} \right)\); Suy ra \(\left( {BM,\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {MBI}\).

Xét tam giác \(SAO\) vuông có \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \frac{{a\sqrt {30} }}{2}{\rm{.}}\)

Suy ra \(MI = \frac{1}{2}SO = \frac{{a\sqrt {30} }}{4}\).

Xét tam giác vuông \(BIO\) có \(BI = \sqrt {O{B^2} + O{I^2}}  = \sqrt {O{B^2} + {{\frac{{OB}}{4}}^2}}  = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}\).

Khi đó, \({\rm{tan}}\widehat {MBI} = \frac{{MI}}{{BI}} = \frac{{\frac{{a\sqrt {30} }}{4}}}{{\frac{{a\sqrt {10} }}{4}}} = \sqrt 3 \). Suy ra \(\widehat {MBI} = 60^\circ \).

Vậy góc giữa đường thẳng \(BM\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(60^\circ \).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot CD\).

Mà \(SH \bot CD\) nên \(CD \bot \left( {SHA} \right)\).

Do đó, \(CD \bot AH\) và góc \(\widehat {SHA}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {S,CD,A} \right]\).

b) Xét tam giác \(ACD\) đều cạnh \(a\) có \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

c) Góc \(\widehat {SHA}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {S,CD,A} \right]\).

d) Tam giác \(SAH\) vuông có: \({\rm{tan}}\widehat {SHA} = \frac{{SA}}{{AH}} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)

Suy ra \(\widehat {SHA} = 30^\circ \). Vậy số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,CD,A} \right]\) bằng \(30^\circ \).