Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(SD\) (tham khảo hình vẽ bên). Tang của góc giữa đường thẳng \(BM\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng

Hướng dẫn giải

Trả lời: 60

Gọi \(O\) là giao điểm \(AC\) và \(BD,I\) là trung điểm của \(AO\).

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Do \(MI//SO\) nên \(MI \bot \left( {ABCD} \right)\); Suy ra \(\left( {BM,\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {MBI}\).

Xét tam giác \(SAO\) vuông có \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \frac{{a\sqrt {30} }}{2}{\rm{.}}\)

Suy ra \(MI = \frac{1}{2}SO = \frac{{a\sqrt {30} }}{4}\).

Xét tam giác vuông \(BIO\) có \(BI = \sqrt {O{B^2} + O{I^2}}  = \sqrt {O{B^2} + {{\frac{{OB}}{4}}^2}}  = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}\).

Khi đó, \({\rm{tan}}\widehat {MBI} = \frac{{MI}}{{BI}} = \frac{{\frac{{a\sqrt {30} }}{4}}}{{\frac{{a\sqrt {10} }}{4}}} = \sqrt 3 \). Suy ra \(\widehat {MBI} = 60^\circ \).

Vậy góc giữa đường thẳng \(BM\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(60^\circ \).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì \(ABCD\) là hình thoi và \(\widehat {BAD} = 120^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {ABC} = 60^\circ \) \( \Rightarrow \Delta ABC\) đều.

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\), do \(\Delta ABC\) là tam giác đều nên \(AI \bot BC\) và \(AI = a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(AI \bot BC\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot SI\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AI \bot BC\\SI \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {AI,SI} \right) = \widehat {SIA} = 60^\circ \).

Do \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC \bot BD \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\)\( \Rightarrow \left( {SAC} \right)\) là mặt phẳng chứa \(SC\) và \( \bot BD\)

\( \Rightarrow d\left( {SC;BD} \right) = d\left( {O;SC} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A;SC} \right) = \frac{1}{2}AH\).

Xét tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) ta có \(SA = AI.\tan 60^\circ  = a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3  = \frac{{3a\sqrt 3 }}{2}\) ; \(AC = AB = a\sqrt 3 \)

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{4}{{27{a^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} = \frac{{13}}{{27{a^2}}}\)\( \Rightarrow AH = \frac{{3a\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }} = \frac{{3a\sqrt {39} }}{{13}}\)\( \Rightarrow d\left( {SC;BD} \right) = \frac{1}{2}AH = \frac{{3a\sqrt {39} }}{{26}}\).