Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right),ABCD\) là hình thoi cạnh \(a,AC = a\), \(SA = \frac{a}{2}\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên cạnh \(CD\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 60

Gọi \(O\) là giao điểm \(AC\) và \(BD,I\) là trung điểm của \(AO\).

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Do \(MI//SO\) nên \(MI \bot \left( {ABCD} \right)\); Suy ra \(\left( {BM,\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {MBI}\).

Xét tam giác \(SAO\) vuông có \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \frac{{a\sqrt {30} }}{2}{\rm{.}}\)

Suy ra \(MI = \frac{1}{2}SO = \frac{{a\sqrt {30} }}{4}\).

Xét tam giác vuông \(BIO\) có \(BI = \sqrt {O{B^2} + O{I^2}}  = \sqrt {O{B^2} + {{\frac{{OB}}{4}}^2}}  = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}\).

Khi đó, \({\rm{tan}}\widehat {MBI} = \frac{{MI}}{{BI}} = \frac{{\frac{{a\sqrt {30} }}{4}}}{{\frac{{a\sqrt {10} }}{4}}} = \sqrt 3 \). Suy ra \(\widehat {MBI} = 60^\circ \).

Vậy góc giữa đường thẳng \(BM\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(60^\circ \).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Do \(MN \bot SM\)( giả thiết SM vuông góc với đáy) và \(MN \bot MQ\) (do \(MNPQ\) là hình vuông) vậy \[MN \bot \left( {SMQ} \right)\]suy ra \(d\left( {NP,SQ} \right) = d\left( {NP,\left( {SMQ} \right)} \right) = d\left( {N,\left( {SMQ} \right)} \right) = NM = 3a\).