Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Gọi \(\varphi \) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {B,SD,C} \right]\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\).

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OC\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OC \bot BD\\OC \bot SO\end{array} \right.\) \( \Rightarrow OC \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow OC \bot SD\) \(\left( 1 \right)\)

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), từ \(O\) kẻ \(OH \bot SD\) tại \(H\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \( \Rightarrow SD \bot \left( {COH} \right) \Rightarrow SD \bot CH\).

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBD} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SD\\OH \bot SD\\CH \bot SD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left[ {B,SD,C} \right] = \widehat {OHC} = \varphi \).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = BD = a\sqrt 2  \Rightarrow CO = OD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Xét \(\Delta SOC\) vuông tại \(O\), ta có \(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}}  = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Xét \(\Delta SOD\) vuông tại \(O\), có \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} + \frac{2}{{{a^2}}} = \frac{4}{{{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{a}{2}\).

Xét \[\Delta OHC\] vuông tại \[O\], ta có: \(\tan \varphi  = \tan \widehat {OHC} = \frac{{OC}}{{OH}} = \sqrt 2 \).