Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), \[\widehat {ABC} = 60^\circ \]. Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Biết rằng \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SO = \frac{{3a}}{4}\). Khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) bằng \(\frac{{ma}}{n}\) với \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản, \(m > 0,n > 0\). Giá trị \(m + n\) bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Trả lời: 60

Gọi \(O\) là giao điểm \(AC\) và \(BD,I\) là trung điểm của \(AO\).

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Do \(MI//SO\) nên \(MI \bot \left( {ABCD} \right)\); Suy ra \(\left( {BM,\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {MBI}\).

Xét tam giác \(SAO\) vuông có \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \frac{{a\sqrt {30} }}{2}{\rm{.}}\)

Suy ra \(MI = \frac{1}{2}SO = \frac{{a\sqrt {30} }}{4}\).

Xét tam giác vuông \(BIO\) có \(BI = \sqrt {O{B^2} + O{I^2}}  = \sqrt {O{B^2} + {{\frac{{OB}}{4}}^2}}  = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}\).

Khi đó, \({\rm{tan}}\widehat {MBI} = \frac{{MI}}{{BI}} = \frac{{\frac{{a\sqrt {30} }}{4}}}{{\frac{{a\sqrt {10} }}{4}}} = \sqrt 3 \). Suy ra \(\widehat {MBI} = 60^\circ \).

Vậy góc giữa đường thẳng \(BM\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(60^\circ \).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì \(ABCD\) là hình thoi và \(\widehat {BAD} = 120^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {ABC} = 60^\circ \) \( \Rightarrow \Delta ABC\) đều.

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\), do \(\Delta ABC\) là tam giác đều nên \(AI \bot BC\) và \(AI = a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(AI \bot BC\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot SI\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AI \bot BC\\SI \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {AI,SI} \right) = \widehat {SIA} = 60^\circ \).

Do \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC \bot BD \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\)\( \Rightarrow \left( {SAC} \right)\) là mặt phẳng chứa \(SC\) và \( \bot BD\)

\( \Rightarrow d\left( {SC;BD} \right) = d\left( {O;SC} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A;SC} \right) = \frac{1}{2}AH\).

Xét tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) ta có \(SA = AI.\tan 60^\circ  = a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3  = \frac{{3a\sqrt 3 }}{2}\) ; \(AC = AB = a\sqrt 3 \)

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{4}{{27{a^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} = \frac{{13}}{{27{a^2}}}\)\( \Rightarrow AH = \frac{{3a\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }} = \frac{{3a\sqrt {39} }}{{13}}\)\( \Rightarrow d\left( {SC;BD} \right) = \frac{1}{2}AH = \frac{{3a\sqrt {39} }}{{26}}\).