Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), \[\widehat {ABC} = 60^\circ \]. Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Biết rằng \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SO = \frac{{3a}}{4}\). Khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) bằng \(\frac{{ma}}{n}\) với \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản, \(m > 0,n > 0\). Giá trị \(m + n\) bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Trả lời: 60

Gọi \(O\) là giao điểm \(AC\) và \(BD,I\) là trung điểm của \(AO\).

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Do \(MI//SO\) nên \(MI \bot \left( {ABCD} \right)\); Suy ra \(\left( {BM,\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {MBI}\).

Xét tam giác \(SAO\) vuông có \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \frac{{a\sqrt {30} }}{2}{\rm{.}}\)

Suy ra \(MI = \frac{1}{2}SO = \frac{{a\sqrt {30} }}{4}\).

Xét tam giác vuông \(BIO\) có \(BI = \sqrt {O{B^2} + O{I^2}}  = \sqrt {O{B^2} + {{\frac{{OB}}{4}}^2}}  = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}\).

Khi đó, \({\rm{tan}}\widehat {MBI} = \frac{{MI}}{{BI}} = \frac{{\frac{{a\sqrt {30} }}{4}}}{{\frac{{a\sqrt {10} }}{4}}} = \sqrt 3 \). Suy ra \(\widehat {MBI} = 60^\circ \).

Vậy góc giữa đường thẳng \(BM\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(60^\circ \).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 60

Do \(A'B\,{\rm{//}}\,D'C\) nên góc giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(A'B\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(D'C\).

Xét tam giác \(ACD'\), ta có \(AC = AD' = CD'\) (cùng là đường chéo của 3 hình vuông bằng nhau) nên tam giác \(ACD'\) đều. Do đó \(\widehat {ACD'} = 60^\circ \).

Vậy, \(\left( {AC,A'B} \right) = \left( {AC,D'C} \right) = \widehat {ACD'} = 60^\circ .\)