Cho hình vuông ABCD, lấy các điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ B và D lên CM. K là giao điểm của DF với BC.

1) Chứng minh K là trung điểm của BC.

2) Chứng minh AD = AF.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5000 câu trắc nghiệm tổng hợp Toán 2026 mới nhất (có đáp án) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình vuông ABCD, lấy các điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ B và D lên CM. K là giao điểm của DF với BC. 1) Chứng minh K là trung điểm của BC. (ảnh 1)

1) Vì tứ giác ABCD là hình vuông nên \(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{BCD}}} = 90^\circ \), AB = BC = CD = DA, AB // CD.

Ta có: \(\widehat {{\rm{BMC}}} + \widehat {{\rm{MCB}}} = 90^\circ ,\widehat {{\rm{DCM}}} + \widehat {{\rm{MCB}}} = 90^\circ \) nên \(\widehat {{\rm{BMC}}} = \widehat {{\rm{DCM}}}\).

DMBC và DKCD có: \(\widehat {{\rm{MBC}}} = \widehat {{\rm{KCD}}} = 90^\circ ,\;\,\widehat {{\rm{BMC}}} = \widehat {{\rm{DCM}}}\), BC = CD.

Do đó, DMBC = DKCD (cgv – gn). Suy ra KC = MB.

Vì M là trung điểm của AB nên MB = \(\frac{1}{2}\)AB = \(\frac{1}{2}\)BC.

Suy ra: CK = \(\frac{1}{2}\)BC. Vậy K là trung điểm của BC.

2) Gọi P là giao điểm của AN và DK.

Vì N là trung điểm của CD nên NC = ND = \(\frac{1}{2}\)CD = \(\frac{1}{2}\)AB = AM.

Tứ giác AMCN có: NC = AM, NC // AM nên tứ giác AMCN là hình bình hành.

Do đó, AN // MC. Mà DK ^ MC nên DK ^ AN.

Tam giác DFC có: PN // FC, N là trung điểm của DC nên P là trung điểm của DF.

Tam giác ADF có: AP vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

Suy ra, tam giác ADF cân tại A. Suy ra: AD = AF.

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hai con thuyền P và Q cách nhau 300 m và thẳng hàng với chân B của tháp hải đăng trên bờ biển. Từ P và Q, người ta nhìn thấy hải đăng dưới \(\widehat {{\rm{BPA}}} = 14^\circ \) và \(\widehat {{\rm{BQA}}} = 42^\circ \). Đặt h = AB là chiều cao ngọn hải đăng.

a) Tính BQ và BP theo h.

b) Tính chiều cao của tháp hải đăng (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Xem đáp án

Lời giải

a) Xét DABQ vuông tại B, ta có: \(\tan \widehat {{\rm{BQA}}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BQ}}}}\) nên tan 42^o \( = \frac{{\rm{h}}}{{{\rm{BQ}}}}\) nên BQ = \(\frac{{\rm{h}}}{{\tan 42^\circ }}\).

Xét DABP vuông tại B, ta có: \(\tan \widehat {{\rm{BPA}}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BP}}}}\) nên tan 14^o \( = \frac{{\rm{h}}}{{{\rm{BP}}}}\) nên BP = \(\frac{{\rm{h}}}{{\tan 14^\circ }}.\)

b) Ta có: PQ = BP – BQ nên \(300 = \frac{{\rm{h}}}{{\tan 14^\circ }} - \frac{{\rm{h}}}{{\tan 42^\circ }}\)

\(\frac{{{\rm{h}}\tan 42^\circ - {\rm{h}}\tan 14^\circ }}{{\tan 42^\circ \cdot \tan 14^\circ }} = 300\)

\({\rm{h}} = \frac{{300\tan 42^\circ \cdot \tan 14^\circ }}{{\tan 42^\circ - \tan 14^\circ }} \approx 103,4\;\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Câu 2

Một bánh xe có đường kính 60 cm. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì trong 5 giây bánh xe quay được bao nhiêu vòng?

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Đổi 50 km/h = \(\frac{{125}}{9}\) (m/ s).

Chu vi của bánh xe là 60p (cm) ≈ 1,88 m.

Quãng đường xe đi được trong 5 giây là: \(5 \cdot \frac{{125}}{9} = \frac{{625}}{9}\;\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Số vòng quay bánh xe quay được: \(\frac{{625}}{9}:1,88 \approx 36,94\) (vòng).

Câu 3

Kim giờ của đồng hồ dài 8 cm, kim phút dài 10 cm. Tổng quãng đường mũi kim giờ, kim phút đi được trong 30 phút bằng

A. \(\frac{{25{\rm{\pi }}}}{3}\).

B. \(\frac{{37{\rm{\pi }}}}{3}\).

C. \(\frac{{20{\rm{\pi }}}}{3}\).

D. \(\frac{{{\rm{32\pi }}}}{3}\).

Lời giải