Cho hình bình hành ABCD. Vẽ hình bình hành BDCE và BDFC. CD cắt BF và AM cắt CF ở N.

a) Chứng minh A đối xứng với E qua B.

b) Chứng minh C là trung điểm của EF.

c) Chứng minh AC, BF, DE đồng quy tại một điểm.

d) Chứng minh FC = 3NC.

Lời giải:

a) Gọi O là giao điểm AC và BD. Mà ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC, BD.

Xét hai tam giác vuông DOEB và DOFD có: OB = OD, \(\widehat {{\rm{BOE}}} = \widehat {{\rm{DOF}}}\) (đối đỉnh).

Suy ra DOEB = DOFD (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra BE = DF (hai cạnh tương ứng).

Lại có: BE // DF (cùng vuông góc với AC)

Suy ra, tứ giác BEDF là hình bình hành.

b) Xét DHBC và DKDC có: \(\widehat {{\rm{BHC}}} = \widehat {{\rm{DKC}}} = 90^\circ \) (gt), \(\widehat {{\rm{HBC}}} = \widehat {{\rm{KDC}}}\left( { = \widehat {{\rm{BAD}}}} \right)\).

Suy ra  (g – g). Suy ra \(\frac{{{\rm{CH}}}}{{{\rm{CK}}}} = \frac{{{\rm{CB}}}}{{{\rm{CD}}}}\) (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

Suy ra CH.CD = CK.CB (đpcm).

c) Xét DAEB và DAHC có: \(\widehat {{\rm{BAE}}}\) chung, \(\widehat {{\rm{AEB}}} = \widehat {{\rm{AHC}}} = 90^\circ \).

Suy ra  (g – g). Suy ra \(\frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{AH}}}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}}\) (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

Suy ra AE.AC = AB.AH (1).

Xét DAFD và DAKC có: \(\widehat {{\rm{FAD}}}\) chung, \(\widehat {{\rm{AFD}}} = \widehat {{\rm{AKC}}} = 90^\circ \).

Suy ra  (g – g). Suy ra \(\frac{{{\rm{AF}}}}{{{\rm{AK}}}} = \frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{AC}}}}\) (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

Suy ra AF.AC = AK.AD (2).

Ta có: OE = OF (suy ra từ DOEB = DOFD câu a)), OA = OC (tính chất hình bình hành).

Do đó: OA – OE = OC – OF hay AE = FC (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra

AB.AH + AK.AD = AE.AC + AF.AC = AC(AE + AF) = AC (FC + AF) = AC² (đpcm).

Lời giải:

Số viên bi không phải màu đen là: 120 – 36 = 84 (viên bi).

Xác suất của biến cố “Viên bi được chọn không phải viên bi màu đen” là:

\({\rm{P}} = \frac{{84}}{{120}} = \frac{7}{{10}} = 0,7\).