Một chiếc khinh khí cầu bay lên tại một điểm. Sau một thời gian bay, chiếc khinh khí cầu cách điểm xuất phát về phía Đông 10 (km) về phía Nam 5 (km), đồng thời cách mặt đất là 400 (m).

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz, với gốc O đặt tại điểm xuất phát của khinh khí cầu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía nam, trục Oy hướng về phía đông và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét (xem hình vẽ).

a) Tìm tọa độ của chiếc khinh khí cầu đối với hệ trục tọa độ đã chọn.

b) Xác định khoảng cách của chiếc khinh khí cầu với vị trí tại điểm xuất phát của nó.

Lời giải:

Ta có: (sin α + sin β)²\( = \frac{1}{2}\)Ûsin² α + sin² β + 2sin α.sin β \( = \frac{1}{2}\).

(cos α + cos β)²\( = \frac{3}{2}\)Ûcos² α + cos² β + 2cos α.cos β \( = \frac{3}{2}\).

Cộng vế với vế, ta được:

sin² α + sin² β + 2sin α.sin β + cos² α + cos² β + 2cos α.cos β = 2

Û2cos (α – β) = 0

Ûcos (α – β) = 0.

Ta có: (sin α + sin β)(cos α + cos β)\( = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Û (sin α. cos α + sin β. cos β) + (sin α. cos β + sin β. cos α) \( = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Û sin (α + β). cos (α – β) + sin (α + β) \( = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Û sin (α + β) \( = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Lời giải:

Chọn A.

Hàm doanh thu khi chở x khách là \({\rm{L}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{x}}{\left( {3 - \frac{{\rm{x}}}{{40}}} \right)^2} = \frac{{{{\rm{x}}^3}}}{{1\;600}} - \frac{{3{{\rm{x}}^2}}}{{20}} + 9{\rm{x}}\).

Ta có: \({\rm{L'}}\left( {\rm{x}} \right) = 9 - \frac{{3{\rm{x}}}}{{10}} + \frac{{3{{\rm{x}}^2}}}{{1\;\,600}}\).

L’(x) = 0 \( \Leftrightarrow 9 - \frac{{3{\rm{x}}}}{{10}} + \frac{{3{{\rm{x}}^2}}}{{1\;\,600}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} = 40\;\,\left( {{\rm{TM}}} \right)\\{\rm{x}} = 120\;\,\left( {\rm{L}} \right)\end{array} \right.\).

Ta có: L(0) = 0; L(40) = 160, L(60) = 135.

Do đó, một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất là 160 USD khi có 40 khách.