Gọi \(E\) là tập hợp tất cả các số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi số \(y\) có không quá \(4031\) số nguyên \(x\) thỏa mãn \[\log _2^2x - 3y{\log _2}x + 2{y^2} < 0\]. Tập \(E\) có bao nhiêu phần tử?

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Điều kiện: \(5x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{5}\).

b) Ta có \(f\left( {\frac{9}{5}} \right) - f\left( 1 \right) = {\log _3}\left( {5.\frac{9}{5} - 3} \right) - {\log _3}\left( {5.1 - 3} \right) = {\log _3}6 - {\log _3}2 = {\log _3}3 = 1\).

c) Có \(f\left( x \right) = 1\) \( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {5x - 3} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow 5x - 3 = 3\)\( \Leftrightarrow x = \frac{6}{5}\) (thỏa mãn điều kiện câu a).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{6}{5}\).

d) Có \(f\left( x \right) \le 2\) \( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {5x - 3} \right) \le 2\)\( \Leftrightarrow 5x - 3 \le 9\)\( \Leftrightarrow x \le \frac{{12}}{5}\).

Kết hợp với điều kiện \(x > \frac{3}{5}\), ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {\frac{3}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\).

Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {1;2} \right\}\). Vậy tập nghiệm của bất phương trình có đúng 2 số nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Dựa vào đồ thị hàm số ta có đồ thị các hàm số trên đều đi qua điểm \(A\left( {1;0} \right)\).

b) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số \(y = {\log _c}x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

c) Vì hàm số \(y = {\log _c}x\)nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên \(0 < c < 1\).

Hàm số \(y = {\log _a}x;{\log _b}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên \(a > 1;b > 1\).

Với \(x > 1\) thì \({\log _b}x < {\log _a}x\)\( \Leftrightarrow {\log _a}x > \frac{1}{{{{\log }_x}b}}\)\( \Leftrightarrow {\log _a}x.{\log _x}b > 1\)\( \Leftrightarrow {\log _a}b > 1\)\( \Leftrightarrow b > a\).

Do đó \(0 < c < 1 < a < b\).

d) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _a}{x_1} = 3\\{\log _b}{x_2} = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {a^3}\\{x_2} = {b^3}\end{array} \right.\).

Mà \({x_2} = 2{x_1}\) nên \({b^3} = 2{a^3}\)\( \Leftrightarrow \frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\).