Gọi \(E\) là tập hợp tất cả các số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi số \(y\) có không quá \(4031\) số nguyên \(x\) thỏa mãn \[\log _2^2x - 3y{\log _2}x + 2{y^2} < 0\]. Tập \(E\) có bao nhiêu phần tử?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện \(x > 0\).

Đặt \(t = {\log _2}x\), bất phương trình trở thành \({t^2} - 3yt + 2{y^2} < 0\,\,\left( * \right)\).

\(\Delta  = {\left( {3y} \right)^2} - 4.2{y^2} = {y^2} > 0,\,\forall y\)nguyên dương, tam thức có hai nghiệm \(t = y \vee t = 2y\).

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow y < t < 2y\) hay \(y < {\log _2}x < 2y \Leftrightarrow {2^y} < x < {2^{2y}}\).

Vì \(x,y \in {\mathbb{Z}^ + }\) nên \(x \in A = \left\{ {{2^y} + 1\,;\,{2^y} + 2\,;\,\,...\,\, & ; & \,{2^{2y}} - 1} \right\}\).

Số phần tử của tập \(A\) là \(\left( {{2^{2y}} - 1} \right) - \left( {{2^y} + 1} \right) + 1 = {2^{2y}} - {2^y} - 1\).

Giả thiết bài toán có không quá \(4031\) số nguyên \(x\) nên ta có: \({2^{2y}} - {2^y} - 1 \le 4031\).

\( \Leftrightarrow {2^{2y}} - {2^y} - 4032 \le 0\,\,\, \Leftrightarrow  - 63 \le {2^y} \le 64\,\,\, \Leftrightarrow y \le 6\).

Vì \(y \in {\mathbb{Z}^ + }\) nên \(y \in E = \left\{ {1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6} \right\}\). Số phần tử của tập hợp \(E\) là 6.