Cho phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} - 5x + m} \right) = 0\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) S, c) Đ, d) S

a) Với \(m = 0\) thì phương trình có dạng \({\log _2}\left( {x - 1} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} - 5x} \right) = 0\).

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\{x^2} - 5x > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 5\).

b) \({\log _2}\left( {x - 1} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} - 5x} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 1} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} - 5x} \right)\)\( \Leftrightarrow x - 1 = {x^2} - 5x\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 3 + 2\sqrt 2 \) hoặc \(x = 3 - 2\sqrt 2 \).

Kết hợp với điều kiện ở câu a, ta có nghiệm của phương trình là \(x = 3 + 2\sqrt 2 \).

c) Với \(m = 7\) thì phương trình có dạng \({\log _2}\left( {x - 1} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right) = 0\).

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\{x^2} - 5x + 7 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x > 1\).

\({\log _2}\left( {x - 1} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 1} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right)\)\( \Leftrightarrow x - 1 = {x^2} - 5x + 7\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 8 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x = 4\).

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {2;4} \right\}\).

Do đó tổng các nghiệm của phương trình là \(2 + 4 = 6\).

d) \({\log _2}\left( {x - 1} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} - 5x + m} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\{\log _2}\left( {x - 1} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} - 5x + m} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x - 1 = {x^2} - 5x + m\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\m =  - {x^2} + 6x - 1\end{array} \right.\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) =  - {x^2} + 6x - 1\) với \(x > 1\).

Ta có \(f'\left( x \right) =  - 2x + 6;f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 3\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(4 < m < 8\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.