Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {4 - x}  + {\log _8}{\left( {4 + x} \right)^3} - {\log _4}{\left( {x + 1} \right)^2} - 2\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) S, c) S, d) S

a) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ne 0\\4 - x > 0\\4 + x > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  - 1\\ - 4 < x < 4\end{array} \right.\).

b) \(f\left( x \right) = {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {4 - x}  + {\log _8}{\left( {4 + x} \right)^3} - {\log _4}{\left( {x + 1} \right)^2} - 2\)

\(f\left( x \right) = \frac{1}{2}.2{\log _2}\left( {4 - x} \right) + \frac{1}{3}.3{\log _2}\left( {4 + x} \right) - \frac{1}{2}.2{\log _2}\left| {x + 1} \right| - 2\)

\[f\left( x \right) = {\log _2}\left( {4 - x} \right) + {\log _2}\left( {4 + x} \right) - {\log _2}\left| {x + 1} \right| - 2\].

c) d)  Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne  - 1\\ - 4 < x < 4\end{array} \right.\)

\[f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {4 - x} \right) + {\log _2}\left( {4 + x} \right) - {\log _2}\left| {x + 1} \right| - 2 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {16 - {x^2}} \right) = {\log _2}4\left| {x + 1} \right|\]

\[ \Leftrightarrow 16 - {x^2} = 4\left| {x + 1} \right|\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}16 - {x^2} = 4\left( {x + 1} \right)\\16 - {x^2} =  - 4\left( {x + 1} \right)\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 4x - 12 = 0\\{x^2} - 4x - 20 = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 6\\x = 2 + 2\sqrt 6 \\x = 2 - 2\sqrt 6 \end{array} \right.\].

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là \(x = 2;x = 2 - 2\sqrt 6 \).

Vậy tổng các nghiệm là \(4 - 2\sqrt 6 \).